- Uma resistência
foi medida com uma ponte de Wheatstone. Sabendo que
e
e
é uma caixa de quatro décadas com
- década A: 10 resistências de
- década B: 10 resistências de
- década C: 10 resistências de
- década D: 10 resistências de
Determine
e o erro correspondente sabendo que, no equilíbrio,
foi ajustada para
. (Exercício 1.3 de [1]).
Passo 1
O enunciado fornece a relação entre as resistências medida na ponte:
As informações numéricas dadas são:
-
. -
. -
é uma caixa de quatro décadas com: - década A (valor de 1000
): 10 resistências nominalmente . - década B (valor de 100
): 10 resistências nominalmente . - década C (valor de 10
): 10 resistências nominalmente . - década D (valor de 1
): 10 resistências nominalmente .
- década A (valor de 1000
- No equilíbrio a caixa
foi ajustada para .
O que se pede: - Determinar o valor de
. - Determinar o erro (incerteza) associado a
.
Passo 2
Calcular o valor nominal de
a partir dos dígitos da caixa de décadas.
A configuração significa:
A configuração
Calculando termo a termo:
Somando:
Passo 3
Determinar a incerteza (erro) em
.
Explicação didática: cada década fornece um termo em série que compõe . A incerteza absoluta do elemento correspondente a cada dígito é indicada pelo enunciado. Se, por exemplo, usamos o dígito
na década de
, o valor efetivo vem de cinco unidades de
(ou de um resistor correspondente) e a incerteza absoluta desse componente escala com o dígito. Assumimos que as incertezas das diferentes décadas são independentes; portanto combinam-se em quadratura (raiz da soma dos quadrados). Isto é padrão quando erros são aleatórios e independentes.
Explicação didática: cada década fornece um termo em série que compõe
Para cada década calculemos a contribuição absoluta à incerteza:
- década A (1000
, dígito 5): incerteza do elemento unitário . Contribuição absoluta = - década B (100
, dígito 4): contribuição = - década C (10
, dígito 3): contribuição = - década D (1
, dígito 6): contribuição =
Agora combinamos em quadratura:
Calculando:
Passo 4
Calcular
(valor nominal) usando a fórmula da ponte:
Substituindo os valores nominais:
Substituindo os valores nominais:
Simplificando:
Passo 5
Calcular as incertezas absolutas de
e
.
O enunciado deu tolerância em porcentagem . Converter para incerteza absoluta:
O enunciado deu tolerância em porcentagem
Passo 6
Propagação do erro para
.
Explicação didática: para grandezas multiplicativas/divisivas com erros pequenos e independentes, as incertezas relativas combinam-se em quadratura. Ou seja, se , então
Explicação didática: para grandezas multiplicativas/divisivas com erros pequenos e independentes, as incertezas relativas combinam-se em quadratura. Ou seja, se
Isto vem de linearizar o logaritmo da expressão (diferença total dos termos) e assumindo independência.
Calculemos cada incerteza relativa:
Agora combinamos:
Calculando numericamente:
Finalmente a incerteza absoluta em
:
Passo 7
Arredondando de forma sensata (incerteza com duas casas significativas, valor nominal compatível), o resultado final é:
ou, em porcentagem,
Força aí — já fizemos todo o passo a passo: calculamos
, estimamos a incerteza dela a partir das décadas, e propagamos para obter a incerteza final de
. Se quiser, eu mostro isso com números arredondados de outra forma (por exemplo incerteza com apenas uma casa significativa) ou explico mais sobre por que somamos em quadratura (exemplos adicionais).