1. Uma resistência R foi medida com uma ponte de Wheatstone. Sabendo que R=R_{2} \cdot R_{3} / R_{4} e R_{3}=1000 \Omega \pm 0,05 \%, R_{4}=100 \Omega \pm 0,05 \% e R_{2} é uma caixa de quatro décadas com
  • década A: 10 resistências de 1000 \Omega \pm 0,5 \Omega
  • década B: 10 resistências de 100 \Omega \pm 0,1 \Omega
  • década C: 10 resistências de 10 \Omega \pm 0,05 \Omega
  • década D: 10 resistências de 1 \Omega \pm 0,05 \Omega
Determine R e o erro correspondente sabendo que, no equilíbrio, R_{2} foi ajustada para 5436 \Omega. (Exercício 1.3 de [1]).

Passo 1

O enunciado fornece a relação entre as resistências medida na ponte:
R=\frac{R_{2}\cdot R_{3}}{R_{4}}
As informações numéricas dadas são:
  • R_{3}=1000\\ \Omega \pm 0{,}05\%.
  • R_{4}=100\\ \Omega \pm 0{,}05\%.
  • R_{2} é uma caixa de quatro décadas com:
    • década A (valor de 1000 \Omega): 10 resistências nominalmente 1000\\ \Omega \pm 0{,}5\\ \Omega.
    • década B (valor de 100 \Omega): 10 resistências nominalmente 100\\ \Omega \pm 0{,}1\\ \Omega.
    • década C (valor de 10 \Omega): 10 resistências nominalmente 10\\ \Omega \pm 0{,}05\\ \Omega.
    • década D (valor de 1 \Omega): 10 resistências nominalmente 1\\ \Omega \pm 0{,}05\\ \Omega.
  • No equilíbrio a caixa R_{2} foi ajustada para 5436\\ \Omega.
    O que se pede:
  • Determinar o valor de R.
  • Determinar o erro (incerteza) associado a R.

Passo 2

Calcular o valor nominal de R_{2} a partir dos dígitos da caixa de décadas.
A configuração 5436 significa:
R_{2}=5\times1000 + 4\times100 + 3\times10 + 6\times1.
Calculando termo a termo:
5\times1000 = 5000,\qquad 4\times100 = 400,\qquad 3\times10 = 30,\qquad 6\times1 = 6.
Somando:
R_{2}=5000+400+30+6=5436\\ \Omega.

Passo 3

Determinar a incerteza (erro) em R_{2}.
Explicação didática: cada década fornece um termo em série que compõe R_{2}. A incerteza absoluta do elemento correspondente a cada dígito é indicada pelo enunciado. Se, por exemplo, usamos o dígito 5 na década de 1000\\ \Omega, o valor efetivo vem de cinco unidades de 1000\\ \Omega (ou de um resistor correspondente) e a incerteza absoluta desse componente escala com o dígito. Assumimos que as incertezas das diferentes décadas são independentes; portanto combinam-se em quadratura (raiz da soma dos quadrados). Isto é padrão quando erros são aleatórios e independentes.
Para cada década calculemos a contribuição absoluta à incerteza:
  • década A (1000 \Omega, dígito 5): incerteza do elemento unitário =0{,}5\\ \Omega. Contribuição absoluta = 5\times0{,}5\\ \Omega = 2{,}5\\ \Omega.
  • década B (100 \Omega, dígito 4): contribuição = 4\times0{,}1\\ \Omega = 0{,}4\\ \Omega.
  • década C (10 \Omega, dígito 3): contribuição = 3\times0{,}05\\ \Omega = 0{,}15\\ \Omega.
  • década D (1 \Omega, dígito 6): contribuição = 6\times0{,}05\\ \Omega = 0{,}3\\ \Omega.
Agora combinamos em quadratura:
\sigma_{R_{2}}=\sqrt{(2{,}5)^2+(0{,}4)^2+(0{,}15)^2+(0{,}3)^2}\\ \Omega.
Calculando:
(2{,}5)^2=6{,}25,\quad (0{,}4)^2=0{,}16,\quad (0{,}15)^2=0{,}0225,\quad (0{,}3)^2=0{,}09.
\sigma_{R_{2}}=\sqrt{6{,}25+0{,}16+0{,}0225+0{,}09}=\sqrt{6{,}5225}=2{,}553\\ \Omega\\ (\text{aprox.}).

Passo 4

Calcular R (valor nominal) usando a fórmula da ponte:
Substituindo os valores nominais:
R=\frac{R_{2}\cdot R_{3}}{R_{4}}=\frac{5436\\ \Omega \times 1000\\ \Omega}{100\\ \Omega}.
Simplificando:
R=5436\times\frac{1000}{100}=5436\times10=54360\\ \Omega.

Passo 5

Calcular as incertezas absolutas de R_{3} e R_{4}.
O enunciado deu tolerância em porcentagem 0{,}05\%. Converter para incerteza absoluta:
\sigma_{R_{3}} = 0{,}05\%\\ \text{de}\\\ 1000\\ \Omega = 0{,}0005\times1000\\ \Omega = 0{,}5\\ \Omega.
\sigma_{R_{4}} = 0{,}05\%\\ \text{de}\\\ 100\\ \Omega = 0{,}0005\times100\\ \Omega = 0{,}05\\ \Omega.

Passo 6

Propagação do erro para R=\dfrac{R_{2}R_{3}}{R_{4}}.
Explicação didática: para grandezas multiplicativas/divisivas com erros pequenos e independentes, as incertezas relativas combinam-se em quadratura. Ou seja, se R=R_{2}R_{3}R_{4}^{-1}, então
\left(\frac{\sigma_{R}}{R}\right)^2 = \left(\frac{\sigma_{R_{2}}}{R_{2}}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_{R_{3}}}{R_{3}}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_{R_{4}}}{R_{4}}\right)^2.
Isto vem de linearizar o logaritmo da expressão (diferença total dos termos) e assumindo independência.
Calculemos cada incerteza relativa:
\frac{\sigma_{R_{2}}}{R_{2}}=\frac{2{,}553}{5436}=0{,}0004698\quad(\text{aprox.})=0{,}04698\%.
\frac{\sigma_{R_{3}}}{R_{3}}=\frac{0{,}5}{1000}=0{,}0005=0{,}05\%.
\frac{\sigma_{R_{4}}}{R_{4}}=\frac{0{,}05}{100}=0{,}0005=0{,}05\%.
Agora combinamos:
\left(\frac{\sigma_{R}}{R}\right)^2 = (0{,}0004698)^2+(0{,}0005)^2+(0{,}0005)^2.
Calculando numericamente:
(0{,}0004698)^2\approx2{,}207\times10^{-7},\quad (0{,}0005)^2=2{,}5\times10^{-7}.
\left(\frac{\sigma_{R}}{R}\right)^2\approx 2{,}207\times10^{-7}+2{,}5\times10^{-7}+2{,}5\times10^{-7}=7{,}207\times10^{-7}.
\frac{\sigma_{R}}{R}\approx\sqrt{7{,}207\times10^{-7}}=0{,}0008484\quad(\text{aprox.})=0{,}08484\%.
Finalmente a incerteza absoluta em R:
\sigma_{R}=R\times\frac{\sigma_{R}}{R}=54360\\ \Omega\times0{,}0008484\approx46{,}10\\ \Omega.

Passo 7

Arredondando de forma sensata (incerteza com duas casas significativas, valor nominal compatível), o resultado final é:
R=(54360\pm46{,}1)\\ \Omega,
ou, em porcentagem,
\text{incerteza relativa}\approx0{,}0848\%.
Força aí — já fizemos todo o passo a passo: calculamos R_{2}, estimamos a incerteza dela a partir das décadas, e propagamos para obter a incerteza final de R. Se quiser, eu mostro isso com números arredondados de outra forma (por exemplo incerteza com apenas uma casa significativa) ou explico mais sobre por que somamos em quadratura (exemplos adicionais).

Resposta

R = 54360\\ \Omega \pm 46{,}1\\ \Omega

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