Uma particula se move sobre o eixo x. A sua velocidade em função do tempo é dada por v=5+10 t, \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}. A posição da particula em t=0 s é x=20 m. Achar a aceleração em função do tempo, a posição e função do tempo, e a velocidade da particula em t=0 s.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A velocidade da partícula em função do tempo é v(t)=5+10\,t (em \text{m/s}).
  • A posição inicial em t=0 é x(0)=20 (em \text{m}).
O que pede o problema:
  1. A aceleração em função do tempo.
  2. A posição em função do tempo.
  3. A velocidade da partícula em t=0\\ \text{s}.

Passo 2

Entender o que significa obter a aceleração a partir da velocidade (aula rápida e prática).
  • A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Em linguagem de cálculo, isso é a derivada da função velocidade v(t) em relação a t.
  • A regra prática que usaremos: a derivada de uma constante é zero e a derivada de k\,t (com k constante) é k.
    Aplicando isso à velocidade dada:
a(t)=\frac{dv}{dt}.
Como v(t)=5+10\,t, a derivada é
a(t)=\frac{d}{dt}\bigl(5+10\,t\bigr)=0+10=10.
Portanto a aceleração é constante e vale 10 (unidade: \text{m/s}^2).

Passo 3

Agora vamos achar a posição x(t). Conceito e procedimento:
  • A posição é obtida integrando a velocidade no tempo, porque a integral da velocidade ao longo do tempo dá o deslocamento (área sob a curva v(t)).
  • Podemos integrar indefinidamente e depois usar a condição inicial x(0)=20 para determinar a constante de integração.
Fazendo a integração indefinida:
\int v(t)\,dt=\int (5+10\,t)\,dt.
Integral termo a termo:
  • \int 5\,dt = 5\,t.
  • \int 10\,t\,dt = 10\cdot\frac{t^2}{2}=5\,t^2.
Logo a primitiva geral é
x(t)=5\,t+5\,t^2+C,
onde C é a constante de integração (em \text{m}).

Passo 4

Determinar a constante de integração usando a condição inicial.
  • Sabemos que x(0)=20. Substituindo t=0 em x(t):
x(0)=5\cdot 0 + 5\cdot 0^2 + C = C.
Portanto C=20. Assim a posição completa é
x(t)=20+5\,t+5\,t^2\quad(\text{m}).

Passo 5

Calcular a velocidade em t=0 (verificação simples):
  • Basta substituir t=0 na função v(t)=5+10\,t:
v(0)=5+10\cdot 0=5\\ \text{m/s}.

Passo 6

Checagem rápida (útil para prova): diferenciar x(t) para ver se volta v(t), e diferenciar v(t) para ver se volta a(t).
  • Diferenciando x(t)=20+5\,t+5\,t^2:
\frac{dx}{dt}=5+10\,t=v(t).
  • Diferenciando v(t)=5+10\,t:
\frac{dv}{dt}=10=a(t).
As funções são consistentes entre si — bom sinal!

Passo 7

Resumo e dica de prova (motivações curtas para ajudar na hora):
  • Sempre que der v(t) e pedirem a(t), calcule a derivada: a(t)=dv/dt.
  • Sempre que der v(t) e pedirem x(t) com uma condição inicial, integre v(t) e use x(t_0) para achar a constante.
  • Anote unidades: v em \text{m/s}, a em \text{m/s}^2, x em \text{m}. Você garante pontos extras por consistência dimensional 😃

Resposta

a(t)=10\\ \text{m/s}^2
x(t)=20+5\,t+5\,t^2\\ \text{m}
v(0)=5\\ \text{m/s}

Exercícios relacionados