Uma particula se move sobre o eixo
. A sua velocidade em função do tempo é dada por
,
. A posição da particula em
é
. Achar a aceleração em função do tempo, a posição e função do tempo, e a velocidade da particula em
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A velocidade da partícula em função do tempo é
(em ). - A posição inicial em
é (em ).
O que pede o problema:
- A aceleração em função do tempo.
- A posição em função do tempo.
- A velocidade da partícula em
.
Passo 2
Entender o que significa obter a aceleração a partir da velocidade (aula rápida e prática).
- A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Em linguagem de cálculo, isso é a derivada da função velocidade
em relação a . - A regra prática que usaremos: a derivada de uma constante é zero e a derivada de
(com constante) é .
Aplicando isso à velocidade dada:
Como
, a derivada é
Portanto a aceleração é constante e vale
(unidade:
).
Passo 3
Agora vamos achar a posição
. Conceito e procedimento:
- A posição é obtida integrando a velocidade no tempo, porque a integral da velocidade ao longo do tempo dá o deslocamento (área sob a curva
). - Podemos integrar indefinidamente e depois usar a condição inicial
para determinar a constante de integração.
Fazendo a integração indefinida:
Integral termo a termo:
-
. -
.
Logo a primitiva geral é
onde
é a constante de integração (em
).
Passo 4
Determinar a constante de integração usando a condição inicial.
- Sabemos que
. Substituindo em :
Portanto
. Assim a posição completa é
Passo 5
Calcular a velocidade em
(verificação simples):
- Basta substituir
na função :
Passo 6
Checagem rápida (útil para prova): diferenciar
para ver se volta
, e diferenciar
para ver se volta
.
- Diferenciando
:
- Diferenciando
:
As funções são consistentes entre si — bom sinal!
Passo 7
Resumo e dica de prova (motivações curtas para ajudar na hora):
- Sempre que der
e pedirem , calcule a derivada: . - Sempre que der
e pedirem com uma condição inicial, integre e use para achar a constante. - Anote unidades:
em , em , em . Você garante pontos extras por consistência dimensional 😃