Uma particula desce um plano inclinado com uma aceleração constante. O plano inclinado tem um comprimento d=2 m e o tempo da descida é t=3 s. Calcular a aceleração da particula, a velocidade final dela, o tempo para chegar a metade do plano inclinado e sua velocidade nesse ponto.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo de forma clara):
  • Comprimento do plano inclinado: d=2\\ \text{m}.
  • Tempo total da descida: t=3\\ \text{s}.
  • A partícula desce com aceleração constante.
  • Não foi informado outro valor de velocidade inicial no enunciado; a interpretação natural aqui (e a mais comum nesses exercícios) é que a partícula parte do repouso. Assim adoto v_0=0.
    As perguntas que precisamos responder são:
  1. Calcular a aceleração da partícula.
  2. Calcular a velocidade final ao chegar ao fim do plano.
  3. Calcular o tempo para chegar à metade do plano ( s=\tfrac{d}{2}).
  4. Calcular a velocidade da partícula nesse ponto da metade.

Passo 2

Vou apresentar as fórmulas de cinemática retilínea com aceleração constante que vou usar e explicar cada símbolo (para você entender tudo e poder aplicar na prova):
  • Deslocamento em função do tempo:
s = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2,
onde \,s é o deslocamento (aqui será a distância ao longo do plano), v_0 é a velocidade inicial, a é a aceleração (constante) e t é o tempo.
  • Velocidade em função do tempo:
v = v_0 + a t,
onde v é a velocidade em tempo t.
  • Velocidade em função do deslocamento (útil quando envolver meio caminho):
v^2 = v_0^2 + 2 a s.
Essas três são as ferramentas básicas: a primeira relaciona deslocamento, aceleração e tempo; a segunda dá velocidade imediata; a terceira liga velocidade e deslocamento sem envolver tempo.

Passo 3

Calcular a aceleração usando a equação do deslocamento. Como a partícula parte do repouso, v_0=0, e tomando s=d e t=3\\ \text{s}, a equação
s = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2
fica
d = \tfrac{1}{2} a t^2.
Isolando a:
a = \dfrac{2d}{t^2}.
Substituindo os números:
a = \dfrac{2\cdot 2}{3^2} = \dfrac{4}{9}\\ \text{m/s}^2.
Valor decimal (aproximado):
a \approx 0{,}444\\ \text{m/s}^2.

Passo 4

Calcular a velocidade final ao fim do plano usando v = v_0 + a t. Como v_0=0:
v_{\text{final}} = a t.
Substituindo a=\dfrac{4}{9}\\ \text{m/s}^2 e t=3\\ \text{s}:
v_{\text{final}} = \dfrac{4}{9}\cdot 3 = \dfrac{4}{3}\\ \text{m/s}.
Valor decimal (aproximado):
v_{\text{final}} \approx 1{,}333\\ \text{m/s}.

Passo 5

Calcular o tempo para percorrer a metade do plano. A metade do deslocamento é
s_{1/2}=\tfrac{d}{2}=1\\ \text{m}.
Usando novamente a equação do deslocamento com v_0=0:
s_{1/2} = \tfrac{1}{2} a t_{1/2}^2.
Isolando t_{1/2}:
t_{1/2} = \sqrt{\dfrac{2s_{1/2}}{a}}.
Substituindo s_{1/2}=1\\ \text{m} e a=\dfrac{4}{9}\\ \text{m/s}^2:
t_{1/2} = \sqrt{\dfrac{2\cdot 1}{4/9}} = \sqrt{\dfrac{2\cdot 9}{4}} = \sqrt{\dfrac{9}{2}} = \dfrac{3}{\sqrt{2}}\\ \text{s}.
Valor decimal (aproximado):
t_{1/2} \approx 2{,}121\\ \text{s}.
Uma observação útil (para prova): como v_0=0, o deslocamento cresce como t^2 (porque s=\tfrac12 a t^2), portanto o tempo para metade do deslocamento é t_{1/2}=t\sqrt{\tfrac{1}{2}}=\dfrac{t}{\sqrt{2}}. Aqui isso dá 3/\sqrt{2}, que é o mesmo resultado que calculamos.

Passo 6

Calcular a velocidade no ponto da metade. Podemos usar v^2 = v_0^2 + 2 a s com v_0=0 e s=s_{1/2}=1\\ \text{m}:
v_{1/2} = \sqrt{2 a s_{1/2}}.
Substituindo a=\dfrac{4}{9} e s_{1/2}=1:
v_{1/2} = \sqrt{2\cdot \dfrac{4}{9}\cdot 1} = \sqrt{\dfrac{8}{9}} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}\\ \text{m/s}.
Valor decimal (aproximado):
v_{1/2} \approx 0{,}943\\ \text{m/s}.
Alternativamente, como v=a t e já calculamos t_{1/2}, poderíamos usar v_{1/2}=a t_{1/2}; dá o mesmo resultado porque ambas as fórmulas são consistentes.

Passo 7

Pequena verificação de coerência (útil para a prova): t_{1/2} deve ser menor que t (aqui 2{,}121<3) e v_{1/2} deve ser menor que v_{\text{final}} (aqui 0{,}943<1{,}333), o que confere com o movimento uniformemente acelerado a partir do repouso.

Resposta

a=\dfrac{4}{9}\\ \text{m/s}^2 \approx 0{,}444\\ \text{m/s}^2
v_{\text{final}}=\dfrac{4}{3}\\ \text{m/s} \approx 1{,}333\\ \text{m/s}
t_{1/2}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\\ \text{s} \approx 2{,}121\\ \text{s}
v_{1/2}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\\ \text{m/s} \approx 0{,}943\\ \text{m/s}

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