(3,0 pontos)
A equação do calor não-homogenea, que satisfaz o conjunto de condições de contorno e temperatura inic
\left\{\begin{array}{l} 5 u_{x x}=u_{t} \quad \text { se }, 0 \leq x<1, \quad t>0 \\\ u(0, t)=20 \\\ u(1, t)=50 \\\ u(x, 0)=2 x \end{array}\right.
Assumimos que u(x, t)=v(x)+w(x, t)
a) Determine v(x).
b) Determine w(x, t). (Dica: w_{n}(x, t)=\operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \cdot e^{-n^{2} \pi^{2} \alpha^{2} t / L}
c) Determine u(x, t)

Passo 1

O problema é a equação do calor
u_{t}=5\,u_{xx},\quad 0<x<1,\;t>0
com condições de contorno não-homogêneas
u(0,t)=20,\quad u(1,t)=50
e condição inicial
u(x,0)=2x.
Vamos escrever
u(x,t)=v(x)+w(x,t),
onde v é a solução estacionária que satisfaz as condições de contorno e w satisfaz condições de contorno homogêneas.

Passo 2

Para achar v(x) resolvemos
5\,v''(x)=0
com
v(0)=20,\quad v(1)=50.
Da equação vem v''=0, logo
v(x)=A x+B.
Impondo as condições: v(0)=B=20 e v(1)=A+B=50 A=30. Portanto
v(x)=30\,x+20.

Passo 3

Definindo w(x,t)=u(x,t)-v(x), obtemos
w_{t}=5\,w_{xx},\quad w(0,t)=0,\quad w(1,t)=0,
e condição inicial
w(x,0)=u(x,0)-v(x)=2x-\bigl(30x+20\bigr)=-28x-20.
Expandimos w(x,t) em série de senos em (0,1):
w(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\,\sin(n\pi x)\,e^{-5n^{2}\pi^{2}t}.
Os coeficientes B_{n} vêm de
B_{n}=2\int_{0}^{1}\bigl(-28x-20\bigr)\sin(n\pi x)\,dx.
Usando
\int_{0}^{1}x\sin(n\pi x)\,dx=\frac{(-1)^{n+1}}{n\pi},\qquad \int_{0}^{1}\sin(n\pi x)\,dx=\frac{1-(-1)^{n}}{n\pi},
temos
\begin{aligned} \int_{0}^{1}(-28x-20)\sin(n\pi x)\,dx &=-28\frac{(-1)^{n+1}}{n\pi}-20\frac{1-(-1)^{n}}{n\pi}\\\ &=\frac{48(-1)^{n}-20}{n\pi}, \end{aligned}
logo
B_{n}=\frac{96(-1)^{n}-40}{n\pi}.

Passo 4

Assim
w(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{96(-1)^{n}-40}{n\pi}\, \sin(n\pi x)\,e^{-5n^{2}\pi^{2}t},
e
u(x,t)=v(x)+w(x,t) =30\,x+20 +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{96(-1)^{n}-40}{n\pi}\, \sin(n\pi x)\,e^{-5n^{2}\pi^{2}t}.

Resposta

a) v(x)=30\,x+20.
b)
w(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{96(-1)^{n}-40}{n\pi}\, \sin(n\pi x)\,e^{-5n^{2}\pi^{2}t}.
c)
u(x,t)=30\,x+20 +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{96(-1)^{n}-40}{n\pi}\, \sin(n\pi x)\,e^{-5n^{2}\pi^{2}t}.

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