Estabeleça se cada uma das sequências indicadas converge ou diverge e , se convergir, determine o limite.
a_{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.

Passo 1

O enunciado dá a sequência \displaystyle a_{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} e pede para estabelecer se essa sequência converge ou diverge e, se convergir, determinar o limite.
Informações relevantes fornecidas: n é um índice inteiro que tende a infinito ( n\to\infty); a sequência é explicitamente dada por uma diferença de duas frações.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão algébrica de \displaystyle a_{n} para ficar mais claro o comportamento quando n cresce. Colocando as frações em comum denominador:
a_{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)}.

Passo 3

Agora observe o sinal e uma desigualdade simples que nos ajuda a comparar \displaystyle a_{n} com sequências conhecidas. Para todo n\ge 1 temos n+1>n, logo
n(n+1)>n\cdot n=n^{2},
então, tomando recíprocos (mantendo a desigualdade porque todos os termos são positivos),
0<\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{n^{2}}.
Portanto, para todo n vale 0<a_{n}<\dfrac{1}{n^{2}}.

Passo 4

Vamos usar agora um fato básico sobre sequências que você pode usar na prova: se \displaystyle b_{n}\ge 0 para todo n e \displaystyle b_{n}\to 0, e se uma sequência \displaystyle a_{n} satisfaz 0\le a_{n}\le b_{n} para todo n, então por comparação (também chamado de lema do aperto ou regra do sanduíche) temos a_{n}\to 0. Aplicando isso ao nosso caso, tomamos b_{n}=\dfrac{1}{n^{2}}. Sabemos (por motivo intuitivo e padrão em provas) que
\frac{1}{n^{2}}\longrightarrow 0\quad\text{quando}\quad n\to\infty,
pois o denominador cresce sem limite e a fração tende a zero. Como mostramos que 0<a_{n}<\dfrac{1}{n^{2}} para todo n, pelo princípio do aperto segue que
a_{n}=\frac{1}{n(n+1)}\longrightarrow 0\quad\text{quando}\quad n\to\infty.

Passo 5

Outra forma rápida (útil na prova) de ver o mesmo resultado é usar a propriedade linear de limites: se \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 e \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0, então a diferença também tende a zero, isto é
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=0-0=0.
As duas abordagens são válidas e dão o mesmo limite.

Resposta

Converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=0

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