Estabeleça se cada uma das sequências indicadas converge ou diverge e , se convergir, determine o limite.
.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para estabelecer se essa sequência converge ou diverge e, se convergir, determinar o limite.
Informações relevantes fornecidas: é um índice inteiro que tende a infinito (
); a sequência é explicitamente dada por uma diferença de duas frações.
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão algébrica de
para ficar mais claro o comportamento quando
cresce. Colocando as frações em comum denominador:
Passo 3
Agora observe o sinal e uma desigualdade simples que nos ajuda a comparar
com sequências conhecidas. Para todo
temos
, logo
então, tomando recíprocos (mantendo a desigualdade porque todos os termos são positivos),
Portanto, para todo
vale
.
Passo 4
Vamos usar agora um fato básico sobre sequências que você pode usar na prova: se
para todo
e
, e se uma sequência
satisfaz
para todo
, então por comparação (também chamado de lema do aperto ou regra do sanduíche) temos
. Aplicando isso ao nosso caso, tomamos
. Sabemos (por motivo intuitivo e padrão em provas) que
pois o denominador cresce sem limite e a fração tende a zero. Como mostramos que
para todo
, pelo princípio do aperto segue que
Passo 5
Outra forma rápida (útil na prova) de ver o mesmo resultado é usar a propriedade linear de limites: se
e
, então a diferença também tende a zero, isto é
As duas abordagens são válidas e dão o mesmo limite.
Resposta
Converge e