(3,0) Considere a função dada por f(x)=e^{-x^{2}} \cdot \sqrt{x}.
a) (0,5) Determine o domínio de f.
b) (1,0) Calcule f^{\prime}(x).
c) (1,0) Determine, caso exista, os valores de x que maximizam a função f.
d) (0,5) Calcule \lim _{x \rightarrow \infty} f(x).

Passo 1

O enunciado dá a função \;f(x)=e^{-x^{2}}\cdot\sqrt{x}\; e pede quatro coisas:
a) Determine o domínio de f.
b) Calcule f'(x).
c) Determine, caso exista, os valores de x que maximizam f.
d) Calcule \lim_{x\to\infty} f(x).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado (explicitando tudo que vamos usar):
  • A função contém \sqrt{x}, que só está definida para valores de x que tornam a expressão dentro da raiz não-negativa.
  • A função contém e^{-x^{2}}, que está definida para todo x\in\mathbb{R}.
    Não vamos resolver nada aqui ainda, apenas deixei claro o que é pedido e quais dados temos.

Passo 2

Determinar o domínio de f.
Conceito rápido: a expressão \sqrt{x} (a raiz quadrada principal) exige que o radicando seja \ge 0. Ou seja, só podemos usar x tais que x\ge 0. A exponencial e^{-x^{2}} não impõe restrição (está definida para todo real). Portanto o domínio é o conjunto de x que satisfazem x\ge 0.
Conclusão (sem cálculo adicional): o domínio é [0,\infty). Também verificamos que em x=0 a função vale f(0)=e^{0}\cdot\sqrt{0}=0, então o ponto 0 está incluído.

Passo 3

Calcular f'(x) — passo a passo, com as regras usadas.
Estratégia: aqui devemos usar a regra do produto e a regra da cadeia. Vou lembrar e aplicar cada uma de forma clara.
Regra do produto (fórmula): se \;f(x)=u(x)\,v(x)\; então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Regra da cadeia (quando aparece e^{g(x)}): se u(x)=e^{g(x)} então u'(x)=g'(x)\,e^{g(x)}.
Identifico u(x)=e^{-x^{2}} e v(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}.
Calcule u'(x):
u(x)=e^{-x^{2}}\quad\Rightarrow\quad u'(x)=(-2x)\,e^{-x^{2}}
porque a derivada de -x^{2} é -2x, e aplicamos a regra da cadeia.
Calcule v'(x):
v(x)=x^{1/2}\quad\Rightarrow\quad v'(x)=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}},
válido para x>0 (a derivada de x^{1/2} diverge quando x\to 0^+).
Agora aplico a regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
f'(x)=\big((-2x)e^{-x^{2}}\big)\cdot x^{1/2}+e^{-x^{2}}\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}.
Agora simplifico termo a termo. Coloco e^{-x^{2}} em evidência:
f'(x)=e^{-x^{2}}\Big(-2x\cdot x^{1/2}+\frac{1}{2}x^{-1/2}\Big).
Faço as potências de x: -2x\cdot x^{1/2}=-2x^{3/2}. Então
f'(x)=e^{-x^{2}}\Big(-2x^{3/2}+\frac{1}{2}x^{-1/2}\Big).
Posso fatorar x^{-1/2} (ou \sqrt{x}) para uma forma mais compacta: fatorando x^{-1/2}
f'(x)=e^{-x^{2}}\,x^{-1/2}\Big(-2x^{3/2}\cdot x^{1/2}???\Big)
(atenção: faço corretamente: -2x^{3/2}= -2x\cdot x^{1/2}. Se eu retirar x^{-1/2} de -2x^{3/2}, resulta -2x. E de \tfrac{1}{2}x^{-1/2} ao retirar x^{-1/2} fica \tfrac{1}{2}.)
Então
f'(x)=e^{-x^{2}}x^{-1/2}\Big(-2x+\tfrac{1}{2}\Big).
Reescrevendo num denominador com \sqrt{x}:
f'(x)=\frac{e^{-x^{2}}(1-4x)}{2\sqrt{x}},
porque -2x+\tfrac{1}{2}=\tfrac{1-4x}{2}.
Observações importantes sobre domínio da derivada: a expressão obtida usa \sqrt{x} no denominador, então é válida para x>0. Em x=0 a derivada não existe: podemos ver isso observando o comportamento do quociente incremental próximo de 0 (ou simplesmente notar que v'(x)=\tfrac{1}{2}x^{-1/2} diverge quando x\to 0^+), portanto f'(0) não existe (tende a +\infty pela direita).
Resumo desta etapa: para x>0
\boxed{f'(x)=\frac{e^{-x^{2}}(1-4x)}{2\sqrt{x}}.}
e f'(0) não existe.

Passo 4

Determinar os valores de x que maximizam f.
Estratégia: procurar pontos críticos (onde f'(x)=0 ou onde f' não existe) dentro do domínio [0,\infty), analisar sinal de f' para saber se há máximo, e comparar valores da função nos candidatos (incluindo extremos do domínio: 0 e comportamento quando x\to\infty).
  1. Pontos onde f'(x)=0. Para x>0 usamos a forma
f'(x)=\frac{e^{-x^{2}}(1-4x)}{2\sqrt{x}}.
O fator e^{-x^{2}}>0 para todo x, e 2\sqrt{x}>0 para x>0. Assim o sinal de f'(x) é dado pelo fator 1-4x. Então f'(x)=0 ocorre quando
1-4x=0 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{1}{4}.
  1. Pontos onde f' não existe: só x=0 dentro do domínio, mas esse é um extremo de domínio (ponto inicial) e não um ponto interior com derivada zero. Temos que comparar.
  2. Análise do sinal de f' para concluir natureza do ponto x=\tfrac{1}{4}:
  • Se 0<x<\tfrac{1}{4}, então 1-4x>0 logo f'(x)>0: f está crescendo aí.
  • Se x>\tfrac{1}{4}, então 1-4x<0 logo f'(x)<0: f está decrescendo aí.
Portanto em x=\tfrac{1}{4} a função passa de crescente para decrescente — é um máximo local. Agora verifico que é também máximo absoluto no domínio: f(0)=0 e, como veremos no Passo 5, \lim_{x\to\infty} f(x)=0. Como f(1/4)>0, esse é o maior valor atingido pela função. Logo x=\tfrac{1}{4} é o ponto que maximiza f (único maximizador).
(se quiser o valor máximo: f(\tfrac{1}{4})=e^{-(1/4)^{2}}\sqrt{\tfrac{1}{4}}=\tfrac{1}{2}e^{-1/16}, mas a pergunta só pediu os valores de x).

Passo 5

Calcular \displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x).
Queremos \displaystyle\lim_{x\to\infty} e^{-x^{2}}\sqrt{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x}}{e^{x^{2}}}.
Observação: o numerador cresce como uma potência de x (muito lentamente comparado à exponencial), o denominador cresce como exponencial super-rápido. Formalizo usando L’Hôpital (forma \infty/\infty).
Aplicando L’Hôpital (derivar numerador e denominador):
  • Numerador: \dfrac{d}{dx}\sqrt{x}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
  • Denominador: \dfrac{d}{dx}e^{x^{2}}=2x\,e^{x^{2}}.
Então
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x}}{e^{x^{2}}} =\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{2x\,e^{x^{2}}} =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{4x^{3/2}e^{x^{2}}}.
O denominador 4x^{3/2}e^{x^{2}} tende para +\infty quando x\to\infty, logo a fração tende a 0. Assim
\boxed{\lim_{x\to\infty} f(x)=0.}
Isso confirma também o uso na Passo 4 para justificar que o máximo em x=\tfrac{1}{4} é global.

Resposta

a) \mathrm{Dom}(f)=[0,\infty)\n
b) \displaystyle f'(x)=\frac{e^{-x^{2}}(1-4x)}{2\sqrt{x}},\quad x>0 (e f'(0) não existe)\n
c) x=\tfrac{1}{4}\n
d) \displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=0

Exercícios relacionados