Considere a função dada por
.
a)
Determine o domínio de
.
b)
Calcule
.
c)
Determine, caso exista, os valores de
que maximizam a função
.
d)
Calcule
.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede quatro coisas:
a) Determine o domínio de .
b) Calcule .
c) Determine, caso exista, os valores de que maximizam
.
d) Calcule .
a) Determine o domínio de
b) Calcule
c) Determine, caso exista, os valores de
d) Calcule
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado (explicitando tudo que vamos usar):
- A função contém
, que só está definida para valores de que tornam a expressão dentro da raiz não-negativa. - A função contém
, que está definida para todo .
Não vamos resolver nada aqui ainda, apenas deixei claro o que é pedido e quais dados temos.
Passo 2
Determinar o domínio de
.
Conceito rápido: a expressão
(a raiz quadrada principal) exige que o radicando seja
. Ou seja, só podemos usar
tais que
. A exponencial
não impõe restrição (está definida para todo real). Portanto o domínio é o conjunto de
que satisfazem
.
Conclusão (sem cálculo adicional): o domínio é
. Também verificamos que em
a função vale
, então o ponto
está incluído.
Passo 3
Calcular
— passo a passo, com as regras usadas.
Estratégia: aqui devemos usar a regra do produto e a regra da cadeia. Vou lembrar e aplicar cada uma de forma clara.
Regra do produto (fórmula): se
então
Regra da cadeia (quando aparece
): se
então
.
Identifico
e
.
Calcule
:
porque a derivada de
é
, e aplicamos a regra da cadeia.
Calcule
:
válido para
(a derivada de
diverge quando
).
Agora aplico a regra do produto:
Agora simplifico termo a termo. Coloco
em evidência:
Faço as potências de
:
. Então
Posso fatorar
(ou
) para uma forma mais compacta: fatorando
dá
(atenção: faço corretamente:
. Se eu retirar
de
, resulta
. E de
ao retirar
fica
.)
Então
Reescrevendo num denominador com
:
porque
.
Observações importantes sobre domínio da derivada: a expressão obtida usa
no denominador, então é válida para
. Em
a derivada não existe: podemos ver isso observando o comportamento do quociente incremental próximo de
(ou simplesmente notar que
diverge quando
), portanto
não existe (tende a
pela direita).
Resumo desta etapa: para
e
não existe.
Passo 4
Determinar os valores de
que maximizam
.
Estratégia: procurar pontos críticos (onde
ou onde
não existe) dentro do domínio
, analisar sinal de
para saber se há máximo, e comparar valores da função nos candidatos (incluindo extremos do domínio:
e comportamento quando
).
- Pontos onde
. Para usamos a forma
O fator
para todo
, e
para
. Assim o sinal de
é dado pelo fator
. Então
ocorre quando
-
Pontos onde
não existe: só dentro do domínio, mas esse é um extremo de domínio (ponto inicial) e não um ponto interior com derivada zero. Temos que comparar. -
Análise do sinal de
para concluir natureza do ponto :
- Se
, então logo : está crescendo aí. - Se
, então logo : está decrescendo aí.
Portanto em
a função passa de crescente para decrescente — é um máximo local. Agora verifico que é também máximo absoluto no domínio:
e, como veremos no Passo 5,
. Como
, esse é o maior valor atingido pela função. Logo
é o ponto que maximiza
(único maximizador).
(se quiser o valor máximo:
, mas a pergunta só pediu os valores de
).
Passo 5
Calcular
.
Queremos
Observação: o numerador cresce como uma potência de
(muito lentamente comparado à exponencial), o denominador cresce como exponencial super-rápido. Formalizo usando L’Hôpital (forma
).
Aplicando L’Hôpital (derivar numerador e denominador):
- Numerador:
. - Denominador:
.
Então
O denominador
tende para
quando
, logo a fração tende a
. Assim
Isso confirma também o uso na Passo 4 para justificar que o máximo em
é global.
Resposta
a)
\n
b) (e
não existe)\n
c) \n
d)
b)
c)
d)