Exercício 2: Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Desenhe um retângulo aproximado típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região.
y=5 \ln x, y=x \ln x

Passo 1

O enunciado pede: esboçar a região delimitada pelas curvas y=5\ln x e y=x\ln x, decidir se é melhor integrar em relação a x ou y, desenhar um retângulo típico com sua altura e largura, e então calcular a área dessa região.
Informações dadas: as duas curvas são y=5\ln x e y=x\ln x. Deve-se lembrar que \ln x só está definida para x>0. A região é a área entre essas duas curvas onde elas se intersectam.

Passo 2

Encontremos os pontos de interseção das curvas resolvendo
5\ln x = x\ln x.
Fatorando \ln x,
\ln x \,(5-x)=0.
Portanto as soluções são \ln x=0 e 5-x=0. Assim
x=1 \quad\text{ou}\quad x=5.
Os pontos de interseção são (1,0) e \bigl(5,5\ln5\bigr) (peguei o valor de y no ponto x=5 usando y=5\ln x).

Passo 3

Precisamos saber qual curva fica acima da outra para x entre 1 e 5. Calcule a diferença
5\ln x - x\ln x = \ln x\,(5-x).
Para 1<x<5 temos \ln x>0 e 5-x>0, logo a diferença é positiva. Portanto, no intervalo (1,5) a curva y=5\ln x está acima de y=x\ln x.

Passo 4

Decisão da variável de integração: ambas as curvas estão dadas como y=f(x) e entre x=1 e x=5 a região é verticalmente simples (para cada x entre 1 e 5 há um segmento vertical entre as duas curvas). Por isso é mais simples integrar em relação a x. Isso evita ter que decompor a região em fatias horizontais.

Passo 5

Desenho mental / retângulo típico: considere um pequeno retângulo vertical em abscissa x com largura \,dx. A altura desse retângulo é a diferença entre a curva superior e a inferior:
\text{altura} = 5\ln x - x\ln x = \ln x\,(5-x).
A largura é
\text{largura} = dx.
A área do retângulo típico é \bigl(\ln x\,(5-x)\bigr)\,dx. Integrando esses retângulos de x=1 até x=5 obtemos a área total.

Passo 6

Escrevemos o integral da área:
A=\int_{1}^{5}\bigl(5\ln x - x\ln x\bigr)\,dx.
Vamos calcular esse integral separando em dois termos:
A=\int_{1}^{5}5\ln x\,dx \;-\; \int_{1}^{5} x\ln x\,dx.

Passo 7

Calcule \displaystyle \int \ln x\,dx. Usando integração por partes (ou lembrando a primitiva conhecida),
se tomarmos u=\ln x e dv=dx, temos du=\dfrac{1}{x}dx e v=x. Então
\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C.
Logo
\int_{1}^{5}5\ln x\,dx = 5\bigl[x\ln x - x\bigr]_{1}^{5} =5\bigl(5\ln5 -5 - (1\cdot0-1)\bigr) =25\ln5 -20.

Passo 8

Agora calcule \displaystyle \int_{1}^{5} x\ln x\,dx por partes. Tome u=\ln x e dv=x\,dx. Então du=\dfrac{1}{x}dx e v=\dfrac{x^{2}}{2}. Assim a primitiva é
\int x\ln x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \int \frac{x}{2}\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{4} + C.
Avalie de 1 a 5:
\int_{1}^{5} x\ln x\,dx =\Bigl[\frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{4}\Bigr]_{1}^{5} =\Bigl(\frac{25}{2}\ln5 - \frac{25}{4}\Bigr) - \Bigl(0 - \frac{1}{4}\Bigr) =\frac{25}{2}\ln5 -6.

Passo 9

Substitua os resultados em A:
A = \bigl(25\ln5 -20\bigr) - \bigl(\tfrac{25}{2}\ln5 -6\bigr).
Simplificando:
A = 25\ln5 -20 -\frac{25}{2}\ln5 +6 = \frac{25}{2}\ln5 -14.
Podemos também dar uma aproximação numérica rápida (opcional): \ln5\approx 1{,}6094379 então A\approx \tfrac{25}{2}\cdot1{,}6094379 -14 \approx 6{,}118.

Resposta

\dfrac{25}{2}\ln 5 - 14

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