Exercício 2: Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a
ou a
. Desenhe um retângulo aproximado típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região.
Passo 1
O enunciado pede: esboçar a região delimitada pelas curvas
e
, decidir se é melhor integrar em relação a
ou
, desenhar um retângulo típico com sua altura e largura, e então calcular a área dessa região.
Informações dadas: as duas curvas são e
. Deve-se lembrar que
só está definida para
. A região é a área entre essas duas curvas onde elas se intersectam.
Informações dadas: as duas curvas são
Passo 2
Encontremos os pontos de interseção das curvas resolvendo
Fatorando
,
Portanto as soluções são
e
. Assim
Os pontos de interseção são
e
(peguei o valor de
no ponto
usando
).
Passo 3
Precisamos saber qual curva fica acima da outra para
entre
e
. Calcule a diferença
Para
temos
e
, logo a diferença é positiva. Portanto, no intervalo
a curva
está acima de
.
Passo 4
Decisão da variável de integração: ambas as curvas estão dadas como
e entre
e
a região é verticalmente simples (para cada
entre
e
há um segmento vertical entre as duas curvas). Por isso é mais simples integrar em relação a
. Isso evita ter que decompor a região em fatias horizontais.
Passo 5
Desenho mental / retângulo típico: considere um pequeno retângulo vertical em abscissa
com largura
. A altura desse retângulo é a diferença entre a curva superior e a inferior:
A largura é
A área do retângulo típico é
. Integrando esses retângulos de
até
obtemos a área total.
Passo 6
Escrevemos o integral da área:
Vamos calcular esse integral separando em dois termos:
Passo 7
Calcule
. Usando integração por partes (ou lembrando a primitiva conhecida),
se tomarmos e
, temos
e
. Então
se tomarmos
Logo
Passo 8
Agora calcule
por partes. Tome
e
. Então
e
. Assim a primitiva é
Avalie de
a
:
Passo 9
Substitua os resultados em
:
Simplificando:
Podemos também dar uma aproximação numérica rápida (opcional):
então
.