Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo x. Esboce a região e uma casca típica.
y=x^{2}, x=y^{2}; em torno de y=-1

Passo 1

Enunciado resumido e dados que temos (tudo que o problema fornece e pede):
  • As curvas que limitam a região são y=x^{2} e x=y^{2}.
  • O eixo em torno do qual giramos a região é a reta horizontal y=-1.
  • O problema pede:
    1. Usar o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação.
    2. Esboçar (descrever) a região e uma casca típica.
  • Informações relevantes (que vamos usar depois):
    • A região está no primeiro quadrante entre as duas parábolas; ela fica entre dois valores de y onde as curvas se intersectam (essas interseções determinam os limites de integração em y).
    • A interseção das curvas vem das equações simultâneas y=x^{2} e x=y^{2} (os pontos de interseção são importantes para os limites de integração; vamos usar isso no desenvolvimento).

Passo 2

Por que usar cascas cilíndricas e qual é a ideia (aula rápida e concreta):
  • O método das cascas cilíndricas consiste em pegar retângulos paralelos ao eixo de rotação, girá-los em torno do eixo e somar os volumes das cascas geradas.
  • Cada fatia paralela ao eixo de rotação gera, ao girar, uma casca cilíndrica de raio igual à distância entre a fatia e o eixo, altura igual ao comprimento da fatia, e espessura igual ao diferencial (aqui será dy porque as fatias serão horizontais).
  • Como o eixo de rotação é a reta horizontal y=-1, as fatias horizontais (paralelas ao eixo) geram cascas — por isso usamos fatias em y (espessura dy).
  • Fórmula básica do método das cascas (para fatias horizontais): o elemento de volume de uma casca é
dV = 2\pi\,(\text{raio})\cdot(\text{altura})\cdot(\text{espessura}).
Aqui a espessura é dy.
Definição explícita das quantidades para uma fatia em nível y:
  • Raio da casca: distância vertical entre a fatia em y e o eixo y=-1. Logo
\text{raio} = r(y) = y - (-1) = y+1.
  • Altura da casca: é o comprimento horizontal da região naquela altura y, isto é, x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}}.
    • Da curva y=x^{2} (considerando x\ge 0) vem x=\sqrt{y}, que é o lado direito da região.
    • Da curva x=y^{2} vem x=y^{2}, que é o lado esquerdo da região.
    • Então
    \text{altura} = h(y) = \sqrt{y} - y^{2}.
  • Limites de integração (valores de y que percorrem a região): são os y onde as curvas se intersectam. Resolvendo y=x^{2} e x=y^{2} simultaneamente, substituímos x=y^{2} em y=x^{2} e obtemos
y=(y^{2})^{2}=y^{4}\quad\Rightarrow\quad y^{4}-y=0\quad\Rightarrow\quad y(y^{3}-1)=0,
logo y=0 ou y=1. Assim a região está entre y=0 e y=1.

Passo 3

Montagem da integral pelo método das cascas:
  • Usando a fórmula do passo anterior, o elemento de volume é
dV = 2\pi\,r(y)\,h(y)\,dy = 2\pi\,(y+1)\bigl(\sqrt{y}-y^{2}\bigr)\,dy.
  • Logo o volume total é a integral de y=0 até y=1:
V = \int_{0}^{1} 2\pi\,(y+1)\bigl(\sqrt{y}-y^{2}\bigr)\,dy.

Passo 4

Desenvolvendo a integral passo a passo (expansão e antiderivadas):
  • Primeiro expandimos o produto dentro da integral:
(y+1)\bigl(\sqrt{y}-y^{2}\bigr) = y\sqrt{y}-y^{3}+\sqrt{y}-y^{2}.
  • Reescrevendo potências em expoentes fracionários:
y\sqrt{y}=y\cdot y^{1/2}=y^{3/2},\qquad \sqrt{y}=y^{1/2}.
Então o integrando fica y^{3/2}-y^{3}+y^{1/2}-y^{2}.
  • A integral do volume é
V = 2\pi\int_{0}^{1}\bigl(y^{3/2}-y^{3}+y^{1/2}-y^{2}\bigr)\,dy.
  • Agora calculamos as antiderivadas termo a termo. Lembre que a antiderivada de y^{p} é \dfrac{y^{p+1}}{p+1} (para p\neq -1).
    • \displaystyle \int y^{3/2}\,dy = \frac{y^{5/2}}{5/2}=\frac{2}{5}y^{5/2}.
    • \displaystyle \int (-y^{3})\,dy = -\frac{y^{4}}{4}.
    • \displaystyle \int y^{1/2}\,dy = \frac{y^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}y^{3/2}.
    • \displaystyle \int (-y^{2})\,dy = -\frac{y^{3}}{3}.
  • Juntando:
\int_{0}^{1}\bigl(y^{3/2}-y^{3}+y^{1/2}-y^{2}\bigr)\,dy = \left[\frac{2}{5}y^{5/2}-\frac{1}{4}y^{4}+\frac{2}{3}y^{3/2}-\frac{1}{3}y^{3}\right]_{0}^{1}.

Passo 5

Avaliação dos limites e simplificação numérica:
  • Avaliando em y=1 (em y=0 todos os termos viram zero), obtemos
\frac{2}{5}-\frac{1}{4}+\frac{2}{3}-\frac{1}{3}.
  • Calcule passo a passo:
    • \displaystyle \frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.
    • Então somamos \displaystyle \frac{2}{5}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}.
    • Colocando tudo sobre denominador comum 60: \frac{2}{5}=\frac{24}{60},\quad -\frac{1}{4}=-\frac{15}{60},\quad \frac{1}{3}=\frac{20}{60}.Soma: \displaystyle \frac{24-15+20}{60}=\frac{29}{60}.
  • Lembrando o fator 2\pi que estava fora da integral,
V = 2\pi\cdot\frac{29}{60} = \frac{58}{60}\pi = \frac{29}{30}\pi.

Passo 6

Esboço da região e descrição da casca típica (como desenhar na hora da prova; instruções claras):
  • Esboço da região:
    • Desenhe o plano de coordenadas primeiro quadrante.
    • A curva y=x^{2} é a parábola voltada para cima passando por (0,0) e (1,1); para 0\le x\le 1 ela cresce de y=0 até y=1.
    • A curva x=y^{2} é a parábola voltada para a direita (inversa): escreva x=y^{2}; para 0\le y\le 1 ela dá x de 0 até 1.
    • As duas parábolas se encontram em (0,0) e (1,1). A região limitada fica entre elas, em forma de “folha” no primeiro quadrante contida entre y=0 e y=1.
    • Marque também a reta horizontal y=-1 abaixo do eixo x (o eixo de rotação).
  • Esboço e descrição de uma casca típica:
    • Pegue uma fatia horizontal em uma altura genérica y_{0} com 0\le y_{0}\le 1.
    • Essa fatia horizontal vai de x_{\text{esq}}=y_{0}^{2} até x_{\text{dir}}=\sqrt{y_{0}}. No desenho, trace um pequeno segmento horizontal entre esses dois pontos.
    • Ao girar esse segmento em torno de y=-1, ele descreve uma casca cilíndrica de raio y_{0}+1, altura \sqrt{y_{0}}-y_{0}^{2} e espessura dy. No esboço, desenhe uma circunferência indicativa do raio e sombreie a casca imaginária.
    • Anote ao lado a fórmula do elemento de volume usado: dV=2\pi(y+1)\bigl(\sqrt{y}-y^{2}\bigr)dy.

Resposta

\displaystyle V=\frac{29}{30}\pi\nEsboço: região entre y=x^{2} e x=y^{2} para 0\le y\le1; casca típica em altura y com raio y+1 e altura \sqrt{y}-y^{2}.

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