Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo
. Esboce a região e uma casca típica.
; em torno de
Passo 1
Enunciado resumido e dados que temos (tudo que o problema fornece e pede):
- As curvas que limitam a região são
e . - O eixo em torno do qual giramos a região é a reta horizontal
. - O problema pede:
- Usar o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação.
- Esboçar (descrever) a região e uma casca típica.
- Informações relevantes (que vamos usar depois):
- A região está no primeiro quadrante entre as duas parábolas; ela fica entre dois valores de
onde as curvas se intersectam (essas interseções determinam os limites de integração em ). - A interseção das curvas vem das equações simultâneas
e (os pontos de interseção são importantes para os limites de integração; vamos usar isso no desenvolvimento).
- A região está no primeiro quadrante entre as duas parábolas; ela fica entre dois valores de
Passo 2
Por que usar cascas cilíndricas e qual é a ideia (aula rápida e concreta):
- O método das cascas cilíndricas consiste em pegar retângulos paralelos ao eixo de rotação, girá-los em torno do eixo e somar os volumes das cascas geradas.
- Cada fatia paralela ao eixo de rotação gera, ao girar, uma casca cilíndrica de raio igual à distância entre a fatia e o eixo, altura igual ao comprimento da fatia, e espessura igual ao diferencial (aqui será
porque as fatias serão horizontais). - Como o eixo de rotação é a reta horizontal
, as fatias horizontais (paralelas ao eixo) geram cascas — por isso usamos fatias em (espessura ). - Fórmula básica do método das cascas (para fatias horizontais): o elemento de volume de uma casca é
Aqui a espessura é
.
Definição explícita das quantidades para uma fatia em nível
:
- Raio da casca: distância vertical entre a fatia em
e o eixo . Logo
- Altura da casca: é o comprimento horizontal da região naquela altura
, isto é, . - Da curva
(considerando ) vem , que é o lado direito da região. - Da curva
vem , que é o lado esquerdo da região. - Então
- Da curva
- Limites de integração (valores de
que percorrem a região): são os onde as curvas se intersectam. Resolvendo e simultaneamente, substituímos em e obtemos
logo
ou
. Assim a região está entre
e
.
Passo 3
Montagem da integral pelo método das cascas:
- Usando a fórmula do passo anterior, o elemento de volume é
- Logo o volume total é a integral de
até :
Passo 4
Desenvolvendo a integral passo a passo (expansão e antiderivadas):
- Primeiro expandimos o produto dentro da integral:
- Reescrevendo potências em expoentes fracionários:
Então o integrando fica
.
- A integral do volume é
-
Agora calculamos as antiderivadas termo a termo. Lembre que a antiderivada de
é (para ). -
-
Juntando:
Passo 5
Avaliação dos limites e simplificação numérica:
- Avaliando em
(em todos os termos viram zero), obtemos
-
Calcule passo a passo:
-
- Então somamos
- Colocando tudo sobre denominador comum
: Soma:
-
-
Lembrando o fator
que estava fora da integral,
Passo 6
Esboço da região e descrição da casca típica (como desenhar na hora da prova; instruções claras):
- Esboço da região:
- Desenhe o plano de coordenadas primeiro quadrante.
- A curva
é a parábola voltada para cima passando por e ; para ela cresce de até . - A curva
é a parábola voltada para a direita (inversa): escreva ; para ela dá de até . - As duas parábolas se encontram em
e . A região limitada fica entre elas, em forma de “folha” no primeiro quadrante contida entre e . - Marque também a reta horizontal
abaixo do eixo (o eixo de rotação).
- Esboço e descrição de uma casca típica:
- Pegue uma fatia horizontal em uma altura genérica
com . - Essa fatia horizontal vai de
até . No desenho, trace um pequeno segmento horizontal entre esses dois pontos. - Ao girar esse segmento em torno de
, ele descreve uma casca cilíndrica de raio , altura e espessura . No esboço, desenhe uma circunferência indicativa do raio e sombreie a casca imaginária. - Anote ao lado a fórmula do elemento de volume usado:
.
- Pegue uma fatia horizontal em uma altura genérica