Estabeleça as condições que devem ser satisfeitas pelos termos independentes para que sejam consistentes os sistemas a seguir.
x+y-z & =a -x+2 z & =b y+z & =c

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com incógnitas
Queremos a condição nos parâmetros (a,b,c] para que o sistema seja consistente (tenha solução).

Passo 2

Vamos primeiro verificar se a matriz dos coeficientes é singular. A matriz é
A = 1 & 1 & -1 -1 & 0 & 2 0 & 1 & 1
O determinante de A é
det(A) = 1cdotdet0&21&1 -1cdotdet-1&20&1 +(-1)cdotdet-1&00&1
Calculando cada menor:
det0&21&1 = 0cdot1 - 2cdot1 = -2, det-1&20&1 = -1cdot1 - 2cdot0 = -1, det-1&00&1 = -1cdot1 - 0cdot0 = -1
Logo
det(A) = 1cdot(-2) - 1cdot(-1) + (-1)cdot(-1) = -2 +1 +1 = 0
Portanto A é singular, e o sistema só será consistente se o vetor de termos independentes pertencer ao espaço gerado pelas colunas de A.

Passo 3

Da segunda equação temos
-,x + 2z = b Longrightarrow x = 2z - b
Da terceira equação:
y + z = c Longrightarrow y = c - z

Passo 4

Substituímos x=2z - b e y=c - z na primeira equação x+y-z=a:
(2z - b) + (c - z) - z = a ;Longrightarrow; 2z - b + c - z - z = a ;Longrightarrow; c - b = a
Essa igualdade não envolve mais z; ela é a condição necessária e suficiente para que não haja contradição.

Resposta

A condição de consistência é
a = c - b,
ou, equivalentemente,
a + b - c = 0

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