Suponha que a matriz de coeficientes de um sistema de equações lineares tem uma posição de pivô em todas as linhas. Explique por que o sistema é consistente.

Passo 1

O enunciado fala de um sistema linear
A x = b
onde A é uma matriz de coeficientes com m linhas e n colunas, e afirma que há uma posição de pivô em cada uma das m linhas de A. O conteúdo aqui envolve posto (rank) de matriz, espaço coluna e condição de consistência de um sistema.

Passo 2

Ter uma posição de pivô em cada linha de A significa que, ao aplicar eliminação de Gauss em A, nenhuma das m linhas fica toda zerada. Em outras palavras,
rank(A)=m
Isto equivale a dizer que as colunas de A são m vetores linearmente independentes em R^m.

Passo 3

Se rank(A)=m, então o espaço coluna de A tem dimensão m, isto é,
Col(A)=R^m
Logo, para qualquer vetor binR^m existe combinação linear das colunas de A que produz b. Em termos do sistema Ax=b, isso significa que sempre podemos encontrar um vetor x tal que Ax=b.

Passo 4

Outra forma de ver: ao formar a matriz aumentada [Amid b] e aplicar eliminação, como A não gera nenhuma linha nula, jamais surge uma linha do tipo
[,0;;0;cdots;0mid c]com cneq 0,
portanto não há contradição e o sistema é consistente.

Resposta

O sistema é consistente porque rank(A)=m implica Col(A)=R^m, ou seja, para qualquer b existe x tal que Ax=b.

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