Suponha que a matriz de coeficientes de um sistema de equações lineares tem uma posição de pivô em todas as linhas. Explique por que o sistema é consistente.
Passo 1
O enunciado fala de um sistema linear
onde
é uma matriz de coeficientes com
linhas e
colunas, e afirma que há uma posição de pivô em cada uma das
linhas de
. O conteúdo aqui envolve posto (rank) de matriz, espaço coluna e condição de consistência de um sistema.
Passo 2
Ter uma posição de pivô em cada linha de
significa que, ao aplicar eliminação de Gauss em
, nenhuma das
linhas fica toda zerada. Em outras palavras,
Isto equivale a dizer que as colunas de
são
vetores linearmente independentes em
.
Passo 3
Se
, então o espaço coluna de
tem dimensão
, isto é,
Logo, para qualquer vetor
existe combinação linear das colunas de
que produz
. Em termos do sistema
, isso significa que sempre podemos encontrar um vetor
tal que
.
Passo 4
Outra forma de ver: ao formar a matriz aumentada
e aplicar eliminação, como
não gera nenhuma linha nula, jamais surge uma linha do tipo
portanto não há contradição e o sistema é consistente.
Resposta
O sistema é consistente porque
implica
, ou seja, para qualquer
existe
tal que
.