Estabeleça as derivadas das funções trigonométricas hiperbólicas:
(\operatorname{cotgh} z)^{\prime}

Passo 1

O exercício pede a derivada de \operatorname{cotgh} z, isto é, da cotangente hiperbólica. Vamos usar a definição
\operatorname{cotgh}z = \frac{\operatorname{cosh} z}{\operatorname{sinh} z}
e aplicar a regra do quociente junto com as derivadas conhecidas \bigl(\operatorname{sinh} z\bigr)' = \operatorname{cosh} z e \bigl(\operatorname{cosh} z\bigr)' = \operatorname{sinh} z.

Passo 2

Aplicando a regra do quociente em \operatorname{cotgh}z = \dfrac{\operatorname{cosh} z}{\operatorname{sinh} z}, temos
(\operatorname{cotgh}z)' = \frac{(\operatorname{cosh} z)' \,\operatorname{sinh} z \;-\;\operatorname{cosh} z\,(\operatorname{sinh} z)'}{\bigl(\operatorname{sinh} z\bigr)^2} = \frac{\operatorname{sinh} z\;\operatorname{sinh} z \;-\;\operatorname{cosh} z\;\operatorname{cosh} z}{\operatorname{sinh}^2 z}
ou seja
(\operatorname{cotgh}z)' = \frac{\operatorname{sinh}^2 z - \operatorname{cosh}^2 z}{\operatorname{sinh}^2 z}\,.

Passo 3

Usamos a identidade hiperbólica
\operatorname{cosh}^2 z - \operatorname{sinh}^2 z = 1
para escrever \operatorname{sinh}^2 z - \operatorname{cosh}^2 z = -1. Logo
(\operatorname{cotgh}z)' = \frac{-1}{\operatorname{sinh}^2 z} = -\frac{1}{\operatorname{sinh}^2 z}\,.

Resposta

(\operatorname{cotgh}z)' = -\mathrm{csch}^2 z.

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