Estabeleça as derivadas das funções trigonométricas hiperbólicas:
(\operatorname{csch} z)^{\prime}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de \operatorname{csch}z. O conteúdo é derivação de função composta e recíproca, pois
\operatorname{csch}z = \frac{1}{\operatorname{sinh} z}.

Passo 2

Chamando f(z)=\operatorname{sinh} z, temos \operatorname{csch}z = [f(z)]^{-1}. Pela regra da derivada de u^{-1},
\bigl[f(z)^{-1}\bigr]' = -\,\frac{f'(z)}{[f(z)]^{2}}.
E como \bigl(\operatorname{sinh} z\bigr)'=\operatorname{cosh} z, segue que
(\operatorname{csch}z)' = -\frac{\operatorname{cosh} z}{[\operatorname{sinh} z]^{2}}.

Passo 3

Para escrever em termos de funções hiperbólicas, note que
\frac{\operatorname{cosh} z}{[\operatorname{sinh} z]^{2}} = \frac{\operatorname{cosh} z}{\operatorname{sinh} z}\,\frac{1}{\operatorname{sinh} z} = \coth z\;\operatorname{csch}z.

Resposta

(\operatorname{csch}z)' = -\,\operatorname{csch}z\;\coth z.

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