Verifique as propriedades abaixo para funções trigonométricas complexas:
\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}-z\right)=\cos z

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para todo z\in\mathbb{C},
\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}-z\bigr)=\cos z.
O conteúdo envolve funções trigonométricas de argumento complexo e usaremos as definições via fórmulas de Euler.

Passo 2

Relembrando as definições de Euler para funções trigonométricas complexas:
\sin w = \frac{e^{i w}-e^{-i w}}{2i}, \qquad \cos w = \frac{e^{i w}+e^{-i w}}{2}.

Passo 3

Substituindo w = \tfrac{\pi}{2}-z na definição de \sin, temos
\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}-z\bigr) = \frac{e^{\,i(\frac{\pi}{2}-z)}-e^{-\,i(\frac{\pi}{2}-z)}}{2i} = \frac{e^{i\frac{\pi}{2}}\,e^{-iz}-e^{-i\frac{\pi}{2}}\,e^{iz}}{2i}.
Como e^{i\frac{\pi}{2}}=i e e^{-i\frac{\pi}{2}}=-i, o numerador fica
i\,e^{-iz}-(-i)\,e^{iz} = i\,e^{-iz}+i\,e^{iz} = i\bigl(e^{iz}+e^{-iz}\bigr).

Passo 4

Dividindo pelo 2i, obtemos
\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}-z\bigr) = \frac{i\bigl(e^{iz}+e^{-iz}\bigr)}{2i} = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} = \cos z.

Resposta

A igualdade \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}-z\bigr)=\cos z está verificada.

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