Estabeleça o domínio e a imagem das seguintes relações:
\left\{\left(3, \frac{1}{2}\right),\left(\frac{5}{2},-1\right),\left(\frac{3}{2}, 0\right)\right\}

Passo 1

O enunciado pede que se estabeleçam o domínio e a imagem da relação dada. A relação fornecida é o conjunto de pares ordenados
\left\{\left(3, \tfrac{1}{2}\right),\left(\tfrac{5}{2},-1\right),\left(\tfrac{3}{2}, 0\right)\right\}.
Perguntas explícitas a responder:
  • Qual é o domínio dessa relação?
  • Qual é a imagem (conjunto de valores correspondentes) dessa relação?

Passo 2

O que significa “domínio” de uma relação: o domínio é o conjunto de todas as primeiras coordenadas (primeiros elementos) dos pares ordenados da relação. Em notação simbólica, se a relação é um conjunto R de pares (x,y), o domínio é
\{x \mid \exists y\\ \text{tal que}\\ (x,y)\in R\}.
Observação importante: quando escrevemos o domínio como um conjunto, repetição de elementos não conta duas vezes — conjuntos agrupam cada elemento único apenas uma vez.

Passo 3

O que significa “imagem” (ou “contradomínio observado”) de uma relação: é o conjunto de todas as segundas coordenadas (segundos elementos) dos pares ordenados da relação. Em notação:
\{y \mid \exists x\\ \text{tal que}\\ (x,y)\in R\}.
Novamente, na lista final de elementos não repetimos valores iguais — cada valor aparece uma única vez no conjunto.

Passo 4

Agora vamos extrair explicitamente as primeiras coordenadas (para formar o domínio) dos pares dados. Pegando cada par:
  • Do par \left(3,\tfrac{1}{2}\right) a primeira coordenada é 3.
  • Do par \left(\tfrac{5}{2},-1\right) a primeira coordenada é \tfrac{5}{2}.
  • Do par \left(\tfrac{3}{2},0\right) a primeira coordenada é \tfrac{3}{2}.
Reunindo esses valores sem repetições, obtemos o domínio:
\{\,3,\;\tfrac{5}{2},\;\tfrac{3}{2}\,\}.

Passo 5

Agora extraímos as segundas coordenadas (para formar a imagem) dos pares dados. Pegando cada par:
  • Do par \left(3,\tfrac{1}{2}\right) a segunda coordenada é \tfrac{1}{2}.
  • Do par \left(\tfrac{5}{2},-1\right) a segunda coordenada é -1.
  • Do par \left(\tfrac{3}{2},0\right) a segunda coordenada é 0.
Reunindo esses valores sem repetições, obtemos a imagem:
\{\,\tfrac{1}{2},\;-1,\;0\,\}.

Resposta

\{3,\tfrac{5}{2},\tfrac{3}{2}\}
\{\tfrac{1}{2},-1,0\}

Exercícios relacionados