Estabeleça as duas identidades seguintes:
\begin{gathered} 1+\cos \theta+\cos 2 \theta+\ldots+\cos n \theta=\frac{1}{2}+\frac{\operatorname{sen}[(n+1 / 2) \theta]}{2 \operatorname{sen}(\theta / 2)} \\\ \operatorname{sen} \theta+\operatorname{sen} 2 \theta+\ldots+\operatorname{sen} n \theta=\frac{1}{2 \operatorname{sen}(\theta / 2)}\left[\cos \frac{\theta}{2}-\cos \left[\left(n+\frac{1}{2}\right) \theta\right]\right] \end{gathered}
Faça um gráfico.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • O enunciado pede para estabelecer (provar) as duas identidades: 1+\cos\theta+\cos2\theta+\ldots+\cos n\theta=\frac{1}{2}+\frac{\operatorname{sen}\bigl[(n+1/2)\theta\bigr]}{2\operatorname{sen}(\theta/2)}e \operatorname{sen}\theta+\sen2\theta+\ldots+\operatorname{sen} n\theta=\frac{1}{2\operatorname{sen}(\theta/2)}\Bigl[\cos\frac{\theta}{2}-\cos\bigl[(n+1/2)\theta\bigr]\Bigr].
  • Dados: as somas finitas das funções trigonométricas acima, com n inteiro não-negativo (na primeira soma o termo inicial é \cos0\theta=1; na segunda soma os índices vão de 1 a n).
  • Objetivo imediato: demonstrar essas fórmulas passo a passo e, ao final, fazer um gráfico (ou explicar como traçá-lo e mostrar pontos importantes).

Passo 2

Ferramentas trigonométricas que vamos usar — duas identidades de soma/diferença que permitem criar somas telescópicas. Vou mostrar de onde elas vêm (assim você pode lembrar na prova).
  • Identidade 1 (diferença de senos): \operatorname{sen} A-\operatorname{sen} B = 2\cos\!\Bigl(\frac{A+B}{2}\Bigr)\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{A-B}{2}\Bigr).Derivação curta: usar fórmulas de \operatorname{sen}(X\pm Y) e somar/subtrair; o que importa é que com A=k\theta+\theta/2 e B=k\theta-\theta/2 obtemos, após organizar, \operatorname{sen}\!\Bigl(k\theta+\frac{\theta}{2}\Bigr)-\operatorname{sen}\!\Bigl(k\theta-\frac{\theta}{2}\Bigr)=2\cos(k\theta)\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{\theta}{2}\Bigr).Reescrevendo: 2\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{\theta}{2}\Bigr)\cos(k\theta)=\operatorname{sen}\!\Bigl(k\theta+\frac{\theta}{2}\Bigr)-\operatorname{sen}\!\Bigl(k\theta-\frac{\theta}{2}\Bigr).
  • Identidade 2 (diferença de cossenos): \cos A-\cos B = -2\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{A+B}{2}\Bigr)\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{A-B}{2}\Bigr).Para A=k\theta-\theta/2 e B=k\theta+\theta/2 (observe a ordem), obtemos \cos\!\Bigl(k\theta-\frac{\theta}{2}\Bigr)-\cos\!\Bigl(k\theta+\frac{\theta}{2}\Bigr)=2\operatorname{sen}(k\theta)\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{\theta}{2}\Bigr).Reescrevendo: 2\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{\theta}{2}\Bigr)\operatorname{sen}(k\theta)=\cos\!\Bigl(k\theta-\frac{\theta}{2}\Bigr)-\cos\!\Bigl(k\theta+\frac{\theta}{2}\Bigr).
Essas duas formas são exatamente as que nos permitem somar termos em k e obter cancelamentos (telescopia).

Passo 3

Prova da primeira identidade (soma das cossenos).
  • Defina S_c=\sum_{k=0}^{n}\cos(k\theta)=1+\cos\theta+\cos2\theta+\cdots+\cos n\theta.
  • Multiplique S_c por 2\operatorname{sen}(\theta/2) e use a identidade do Passo 2 aplicada a cada termo \cos(k\theta): 2\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{\theta}{2}\Bigr)S_c=\sum_{k=0}^{n}\biggl[\operatorname{sen}\!\Bigl(k\theta+\frac{\theta}{2}\Bigr)-\operatorname{sen}\!\Bigl(k\theta-\frac{\theta}{2}\Bigr)\biggr].
  • Observe que a soma na direita é telescópica: escrevendo alguns termos fica claro o cancelamento \begin{aligned} &\bigl[\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr)-\operatorname{sen}\!\bigl(-\tfrac{\theta}{2}\bigr)\bigr] \\\ &\quad +\bigl[\operatorname{sen}\!\bigl(\theta+\tfrac{\theta}{2}\bigr)-\operatorname{sen}\!\bigl(\theta-\tfrac{\theta}{2}\bigr)\bigr] \\\ &\quad +\cdots+ \bigl[\operatorname{sen}\!\bigl(n\theta+\tfrac{\theta}{2}\bigr)-\operatorname{sen}\!\bigl(n\theta-\tfrac{\theta}{2}\bigr)\bigr]. \end{aligned}todos os termos internos \operatorname{sen}(k\theta-\tfrac{\theta}{2}) cancelam com o termo seguinte \operatorname{sen}((k-1)\theta+\tfrac{\theta}{2}). Então sobra apenas 2\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{\theta}{2}\Bigr)S_c=\operatorname{sen}\!\Bigl(\bigl(n+\tfrac{1}{2}\bigr)\theta\Bigr)-\operatorname{sen}\!\Bigl(-\tfrac{\theta}{2}\Bigr).
  • Usando \operatorname{sen}(-x)=-\operatorname{sen} x, fica 2\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{\theta}{2}\Bigr)S_c=\operatorname{sen}\!\Bigl(\bigl(n+\tfrac{1}{2}\bigr)\theta\Bigr)+\operatorname{sen}\!\Bigl(\tfrac{\theta}{2}\Bigr).
  • Isolando S_c, S_c=\frac{\operatorname{sen}\!\bigl((n+\tfrac{1}{2})\theta\bigr)+\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr)}{2\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr)} =\frac{1}{2}+\frac{\operatorname{sen}\!\bigl((n+\tfrac{1}{2})\theta\bigr)}{2\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr)}.Pronto — essa é a primeira identidade.
  • Observação sobre \theta com \operatorname{sen}(\tfrac{\theta}{2})=0 (singular aparente): quando \theta=2m\pi para inteiro m a fórmula tem divisão por zero, mas a soma original vale n+1. Isso é um caso de singularidade removível: tomando limite \theta\to0 (ou \theta\to 2m\pi) usando \operatorname{sen} x\sim x vemos S_c(\theta)\xrightarrow{\theta\to0}\frac{1}{2}+\frac{(n+\tfrac{1}{2})\theta}{2(\theta/2)}=\frac{1}{2}+\frac{2n+1}{2}=n+1,correspondente ao valor direto da soma.

Passo 4

Prova da segunda identidade (soma das senos).
  • Defina S_s=\sum_{k=1}^{n}\operatorname{sen}(k\theta)=\operatorname{sen}\theta+\sen2\theta+\cdots+\operatorname{sen} n\theta.
  • Multiplique S_s por 2\operatorname{sen}(\theta/2) e use a segunda identidade do Passo 2 aplicada a cada \operatorname{sen}(k\theta): 2\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{\theta}{2}\Bigr)S_s=\sum_{k=1}^{n}\biggl[\cos\!\Bigl(k\theta-\frac{\theta}{2}\Bigr)-\cos\!\Bigl(k\theta+\frac{\theta}{2}\Bigr)\biggr].
  • Novamente a soma é telescópica: escrevendo os primeiros termos \bigl[\cos\!\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr)-\cos\!\bigl(\tfrac{3\theta}{2}\bigr)\bigr] +\bigl[\cos\!\bigl(\tfrac{3\theta}{2}\bigr)-\cos\!\bigl(\tfrac{5\theta}{2}\bigr)\bigr] +\cdotstudo cancela exceto os extremos, resultando em 2\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{\theta}{2}\Bigr)S_s=\cos\!\Bigl(\frac{\theta}{2}\Bigr)-\cos\!\Bigl(\bigl(n+\tfrac{1}{2}\bigr)\theta\Bigr).
  • Isolando S_s, S_s=\frac{1}{2\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr)}\Bigl[\cos\!\Bigl(\frac{\theta}{2}\Bigr)-\cos\!\Bigl(\bigl(n+\tfrac{1}{2}\bigr)\theta\Bigr)\Bigr],que é exatamente a segunda identidade.
  • Novamente, se \operatorname{sen}(\tfrac{\theta}{2})=0 (por exemplo \theta=2m\pi) a expressão tem divisão por zero, mas a soma original é zero; tomando limite \theta\to0 obtém-se zero (usar séries de Taylor ou reconhecer que numerador tende a 0 com mesma ordem que denominador).

Passo 5

Como fazer o gráfico (instruções práticas e pontos importantes). Vou explicar como traçar os gráficos de ambas as somas como funções de \theta (no eixo horizontal) para um n fixo — isso resolve o pedido “Faça um gráfico”. Recomendo traçar em \theta\in[0,2\pi] para ver o comportamento básico; as funções são periódicas de período 2\pi.
  • Use as expressões fechadas obtidas nos Passos 3 e 4 como funções para plotar: S_c(\theta)=\frac{1}{2}+\frac{\operatorname{sen}\!\bigl((n+\tfrac{1}{2})\theta\bigr)}{2\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr)},\qquad S_s(\theta)=\frac{\cos\!\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr)-\cos\!\bigl((n+\tfrac{1}{2})\theta\bigr)}{2\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr)}.
  • Atenção com \theta muito próximo de 0 (ou múltiplos de 2\pi): usar limites (valores removíveis) nesses pontos. Por exemplo \theta=0 deve ser tomado como S_c(0)=n+1 e S_s(0)=0.
  • Pontos recomendados para calcular e marcar (exemplo prático: n=5):
    • \theta=0: S_c=6,\;S_s=0.
    • \theta=\tfrac{\pi}{2}: calcule usando as fórmulas ou somando diretamente; para n=5 obtivemos S_c=1,\;S_s=1.
    • \theta=\pi: para n=5 obtemos S_c=0,\;S_s=0.
    • \theta=2\pi: S_c=6,\;S_s=0 (periodicidade).
  • Forma geral do gráfico:
    • S_c(\theta) oscila de modo suave com picos quando \operatorname{sen}(\tfrac{\theta}{2}) é pequeno (mas lembrando que o valor real é finito: há um pico aproximando n+1 em \theta\approx 0), e apresenta oscilações com frequência aproximadamente n+\tfrac{1}{2} na função seno do numerador.
    • S_s(\theta) também é oscilatória, com zeros em pontos dependentes de \theta e n.
  • Ferramentas práticas: no computador use Python/Matplotlib, GeoGebra ou mesmo uma calculadora gráfica, definindo as funções pelas fórmulas acima e plotando em [0,2\pi]. Se fizer à mão, calcule vários pontos (por exemplo 9 a 12 pontos uniformes) e una-os suavemente respeitando periodicidade; marque os pontos onde \theta é múltiplo de \pi/2 pois frequentemente ocorrem valores simples.

Passo 6

Exemplo numérico rápido (para fixar): com n=5 e alguns \theta já fizemos:
  • \theta=0:\\ S_c=6,\\ S_s=0.
  • \theta=\tfrac{\pi}{2}:\\ S_c=1,\\ S_s=1.
  • \theta=\pi:\\ S_c=0,\\ S_s=0.
    Isto mostra que os gráficos variam bastante com \theta e têm comportamento periódico; esses pontos ajudam a desenhar uma boa aproximação à mão.

Resposta

1+\cos\theta+\cos2\theta+\ldots+\cos n\theta=\frac{1}{2}+\frac{\operatorname{sen}\bigl((n+\tfrac{1}{2})\theta\bigr)}{2\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr)}
\operatorname{sen}\theta+\sen2\theta+\ldots+\operatorname{sen} n\theta=\frac{1}{2\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr)}\Bigl[\cos\!\Bigl(\frac{\theta}{2}\Bigr)-\cos\!\Bigl(\bigl(n+\tfrac{1}{2}\bigr)\theta\Bigr)\Bigr]

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