Mostre que \exp \frac{3-2 \pi i}{6}=\frac{\sqrt{e}(1-i \sqrt{3})}{2}.

Passo 1

O problema pede que mostremos a igualdade
\exp\frac{3-2\pi i}{6}=\frac{\sqrt{e}(1-i\sqrt{3})}{2}.
Informações dadas: a expressão exponencial complexa \exp\frac{3-2\pi i}{6}. Objetivo: manipular essa expressão para obter a forma \dfrac{\sqrt{e}(1-i\sqrt{3})}{2}.

Passo 2

Separe a parte real e a parte imaginária do expoente usando a propriedade de exponenciais de soma:
\exp\frac{3-2\pi i}{6}=\exp\!\left(\frac{3}{6}+\frac{-2\pi i}{6}\right).
Aqui escrevi o expoente como soma de \frac{3}{6} (real) e \frac{-2\pi i}{6} (puro imaginário).

Passo 3

Use a propriedade básica das exponenciais: para quaisquer números (complexos) a e b vale \exp(a+b)=\exp(a)\exp(b). Aplicando:
\exp\!\left(\frac{3}{6}+\frac{-2\pi i}{6}\right)=\exp\!\left(\frac{3}{6}\right)\cdot\exp\!\left(\frac{-2\pi i}{6}\right).

Passo 4

Simplifique os coeficientes reais:
\exp\!\left(\frac{3}{6}\right)=\exp\!\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{e}, \qquad \exp\!\left(\frac{-2\pi i}{6}\right)=\exp\!\left(-\frac{\pi i}{3}\right).
Portanto
\exp\frac{3-2\pi i}{6}=\sqrt{e}\,\exp\!\left(-\frac{\pi i}{3}\right).

Passo 5

Use a fórmula de Euler para a exponencial imaginária: para todo real \theta,
\exp(i\theta)=\cos\theta+i\sin\theta.
Dessa fórmula segue também \exp(-i\theta)=\cos\theta-i\sin\theta, pois \cos(-\theta)=\cos\theta e \sin(-\theta)=-\sin\theta. Aplicando com \theta=\dfrac{\pi}{3},
\exp\!\left(-\frac{\pi i}{3}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)-i\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right).

Passo 6

Avalie \cos e \sin nos ângulos conhecidos: \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2} e \sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Substituindo:
\exp\!\left(-\frac{\pi i}{3}\right)=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1-i\sqrt{3}}{2}.

Passo 7

Combine tudo: multiplicando pelo fator \sqrt{e} obtido no Passo 4,
\exp\frac{3-2\pi i}{6}=\sqrt{e}\cdot\frac{1-i\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{e}(1-i\sqrt{3})}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{e}(1-i\sqrt{3})}{2}

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