Mostre que
.
Passo 1
O problema pede que mostremos a igualdade
Informações dadas: a expressão exponencial complexa
. Objetivo: manipular essa expressão para obter a forma
.
Passo 2
Separe a parte real e a parte imaginária do expoente usando a propriedade de exponenciais de soma:
Aqui escrevi o expoente como soma de
(real) e
(puro imaginário).
Passo 3
Use a propriedade básica das exponenciais: para quaisquer números (complexos)
e
vale
. Aplicando:
Passo 4
Simplifique os coeficientes reais:
Portanto
Passo 5
Use a fórmula de Euler para a exponencial imaginária: para todo real
,
Dessa fórmula segue também
, pois
e
. Aplicando com
,
Passo 6
Avalie
e
nos ângulos conhecidos:
e
. Substituindo:
Passo 7
Combine tudo: multiplicando pelo fator
obtido no Passo 4,