Prove que a condição para que três números complexos a, b e c sejam vértices de um triângulo eqüilátero é que a+j b+j^{2} c=0, onde j=e^{2 \pi i / 3}. Prove que esta condição equivale a b+j c+j^{2} a=0 e a c+j a+j^{2} b=0.

Passo 1

O enunciado pede para provar duas coisas:
  1. Que a condição para que três números complexos a,b,c representem os vértices de um triângulo equilátero é
a + j b + j^{2} c = 0,
onde j = e^{2\pi i/3}.
  1. Que essa condição é equivalente às versões cíclicas
b + j c + j^{2} a = 0 \quad\text{e}\quad c + j a + j^{2} b = 0.
Informações dadas que vamos usar: j=e^{2\pi i/3} é uma raiz primitiva cúbica da unidade, logo \,j^{3}=1 e \,1+j+j^{2}=0. Os números complexos a,b,c representam pontos no plano complexo. Não começarei a resolver aqui — só organizei o que é pedido e as informações relevantes.

Passo 2

Vamos lembrar propriedades úteis de j e de multiplicação por complexos (mini-aula rápida e necessária):
  • j=e^{2\pi i/3} tem módulo 1 e argumento 120^\circ. Multiplicar um número complexo por j corresponde a uma rotação do vetor por 120^\circ (no sentido positivo) sem mudar o módulo. Portanto |j|=1 e |j z|=|z| para todo z\in\mathbb{C}.
  • Como j^{3}=1 e j\neq1 segue
1+j+j^{2}=0.
Esta identidade será muito útil para simplificar coeficientes.
  • Interpretação geométrica que usaremos: se u e v são vetores no plano complexificado e v = j u então v tem o mesmo comprimento de u e é a rotação de u em 120^\circ.

Passo 3

Mostro primeiro que
a + j b + j^{2} c = 0 \quad\Longrightarrow\quad \text{o triângulo de vértices } a,b,c \text{ é equilátero.}âééá
Parto da igualdade dada. Reescrevo isolando a:
a = -j b - j^{2} c.
Agora calculo a diferença a-b:
a-b = -j b - j^{2} c - b = (-j-1)b - j^{2} c.
Usando 1+j+j^{2}=0 obtemos -j-1 = j^{2}. Substituindo:
a-b = j^{2} b - j^{2} c = j^{2}(b-c).
Portanto
a-b = j^{2}(b-c).
Multiplicando ambos os lados por j obtemos
j(a-b) = b-c.
Isso diz, geometricamente, que o vetor (b-c) é a rotação em 120^\circ do vetor (a-b); em particular |a-b| = |b-c|. Aplicando o mesmo raciocínio ciclicamente (ou simplesmente multiplicando a igualdade original por j e j^{2}; ver passo 5) obtemos relações análogas entre as outras diferenças, logo
|a-b| = |b-c| = |c-a|.
Assim os três lados do triângulo têm o mesmo comprimento: o triângulo é equilátero. (Se precisar, a igualdade de comprimentos segue porque |j^{2}|=1.)

Passo 4

Agora mostrarei a recíproca: se a,b,c são vértices de um triângulo equilátero então
a + j b + j^{2} c = 0.
Idea geométrica: num triângulo equilátero a rotação de 120^\circ em torno do centro (centroide/circuncentro, que coincidem no equilátero) permuta ciclicamente os vértices. Seja O o centro comum (centroide/circuncentro) do triângulo ABC representado por a,b,c. Então os vetores relativos a O,
\alpha = a - O,\qquad \beta = b - O,\qquad \gamma = c - O,
satisfazem \beta = j \alpha e \gamma = j \beta = j^{2}\alpha (uma rotação de 120^\circ manda a em b, e outra manda b em c). Assim
\alpha + j\beta + j^{2}\gamma = \alpha + j(j\alpha) + j^{2}(j^{2}\alpha) = \alpha + j^{2}\alpha + j^{4}\alpha.
Como j^{3}=1 temos j^{4}=j, então o lado direito é
\alpha + j^{2}\alpha + j\alpha = (1+j+j^{2})\alpha = 0.
Agora volte aos pontos absolutos: \alpha = a-O, \beta=b-O, \gamma=c-O. Então
(a-O) + j(b-O) + j^{2}(c-O) = 0.
Expandindo e usando 1+j+j^{2}=0 para o termo com O obtemos
a + j b + j^{2} c - (1+j+j^{2})O = a + j b + j^{2} c = 0.
Portanto a igualdade desejada vale. Isto mostra que qualquer triângulo equilátero (com a ordenação adequada dos vértices) satisfaz a + j b + j^{2} c = 0.

Passo 5

Mostro agora a equivalência cíclica das três condições pedidas. Começo de uma das igualdades e multiplico por j ou j^{2}:
  • Se a + j b + j^{2} c = 0, multiplicando ambos os lados por j obtemos
j a + j^{2} b + c = 0,
ou reescrevendo
c + j a + j^{2} b = 0.
  • Multiplicando a igualdade original por j^{2}
j^{2} a + b + j c = 0,
ou reescrevendo
b + j c + j^{2} a = 0.
Como j é invertível (multiplicação por j é bijetiva), as implicações são equivalências: se qualquer uma das três igualdades é verdadeira, multiplicando por potências apropriadas de j obtemos as outras duas. Logo as três condições são logicamente equivalentes entre si.

Passo 6

Resumo lógico do que já provamos (mini-conclusão didática):
  • Se a + j b + j^{2} c = 0 então, a partir da relação a-b = j^{2}(b-c), concluímos que os comprimentos dos lados são iguais, portanto a,b,c formam um triângulo equilátero.
  • Se a,b,c formam um triângulo equilátero então a rotação de 120^\circ em torno do centro do triângulo permuta ciclicamente os vértices, o que leva exatamente à igualdade a + j b + j^{2} c = 0.
  • Multiplicando por j ou j^{2} mostramos que as três formas escritas no enunciado são equivalentes entre si.

Resposta

a + j b + j^{2} c = 0 \
b + j c + j^{2} a = 0 \
c + j a + j^{2} b = 0

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