Prove que a condição para que três números complexos
e
sejam vértices de um triângulo eqüilátero é que
, onde
. Prove que esta condição equivale a
e a
.
Passo 1
O enunciado pede para provar duas coisas:
- Que a condição para que três números complexos
representem os vértices de um triângulo equilátero é
onde
.
- Que essa condição é equivalente às versões cíclicas
Informações dadas que vamos usar:
é uma raiz primitiva cúbica da unidade, logo
e
. Os números complexos
representam pontos no plano complexo. Não começarei a resolver aqui — só organizei o que é pedido e as informações relevantes.
Passo 2
Vamos lembrar propriedades úteis de
e de multiplicação por complexos (mini-aula rápida e necessária):
-
tem módulo e argumento . Multiplicar um número complexo por corresponde a uma rotação do vetor por (no sentido positivo) sem mudar o módulo. Portanto e para todo . -
Como
e segue
Esta identidade será muito útil para simplificar coeficientes.
- Interpretação geométrica que usaremos: se
e são vetores no plano complexificado e então tem o mesmo comprimento de e é a rotação de em .
Passo 3
Mostro primeiro que
Parto da igualdade dada. Reescrevo isolando
:
Agora calculo a diferença
:
Usando
obtemos
. Substituindo:
Portanto
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Isso diz, geometricamente, que o vetor
é a rotação em
do vetor
; em particular
. Aplicando o mesmo raciocínio ciclicamente (ou simplesmente multiplicando a igualdade original por
e
; ver passo 5) obtemos relações análogas entre as outras diferenças, logo
Assim os três lados do triângulo têm o mesmo comprimento: o triângulo é equilátero. (Se precisar, a igualdade de comprimentos segue porque
.)
Passo 4
Agora mostrarei a recíproca: se
são vértices de um triângulo equilátero então
Idea geométrica: num triângulo equilátero a rotação de
em torno do centro (centroide/circuncentro, que coincidem no equilátero) permuta ciclicamente os vértices. Seja
o centro comum (centroide/circuncentro) do triângulo
representado por
. Então os vetores relativos a
,
satisfazem
e
(uma rotação de
manda
em
, e outra manda
em
). Assim
Como
temos
, então o lado direito é
Agora volte aos pontos absolutos:
,
,
. Então
Expandindo e usando
para o termo com
obtemos
Portanto a igualdade desejada vale. Isto mostra que qualquer triângulo equilátero (com a ordenação adequada dos vértices) satisfaz
.
Passo 5
Mostro agora a equivalência cíclica das três condições pedidas. Começo de uma das igualdades e multiplico por
ou
:
- Se
, multiplicando ambos os lados por obtemos
ou reescrevendo
- Multiplicando a igualdade original por
dá
ou reescrevendo
Como
é invertível (multiplicação por
é bijetiva), as implicações são equivalências: se qualquer uma das três igualdades é verdadeira, multiplicando por potências apropriadas de
obtemos as outras duas. Logo as três condições são logicamente equivalentes entre si.
Passo 6
Resumo lógico do que já provamos (mini-conclusão didática):
-
Se
então, a partir da relação , concluímos que os comprimentos dos lados são iguais, portanto formam um triângulo equilátero. -
Se
formam um triângulo equilátero então a rotação de em torno do centro do triângulo permuta ciclicamente os vértices, o que leva exatamente à igualdade . -
Multiplicando por
ou mostramos que as três formas escritas no enunciado são equivalentes entre si.