Calcule o divergente tridimensional
para cada um dos seguintes vetores:
, onde
é o vetor posição usual e
é uma constante
Passo 1
Vamos resolver o problema de calcular o divergente tridimensional de um vetor dado. O vetor é
, onde
é o vetor posição usual e
é uma constante. O conteúdo envolvido aqui é cálculo vetorial, especificamente o cálculo do divergente. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição do divergente e como aplicá-la a vetores em três dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é divergente. O divergente de um campo vetorial
é uma operação que nos dá uma medida de quanto o campo “espalha” a partir de um ponto. Matemáticamente, o divergente é dado pela seguinte expressão:
Passo 3
Agora, vamos identificar as componentes do nosso vetor
. Sabemos que
, então:
Isso significa que:
Passo 4
Com as componentes identificadas, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para o divergente:
Passo 5
Agora, somamos todas as derivadas parciais para encontrar o divergente:
Resposta
O divergente de
é igual a
.