Calcule o divergente tridimensional nabla cdot v para cada um dos seguintes vetores:
v=k r, onde r=(x, y, z) é o vetor posição usual e k é uma constante

Passo 1

Vamos resolver o problema de calcular o divergente tridimensional de um vetor dado. O vetor é v = k r, onde r = (x, y, z) é o vetor posição usual e k é uma constante. O conteúdo envolvido aqui é cálculo vetorial, especificamente o cálculo do divergente. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição do divergente e como aplicá-la a vetores em três dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é divergente. O divergente de um campo vetorial v = (vx, vy, vz) é uma operação que nos dá uma medida de quanto o campo “espalha” a partir de um ponto. Matemáticamente, o divergente é dado pela seguinte expressão:
nabla cdot v = partial vxpartial x + partial vypartial y + partial vzpartial z

Passo 3

Agora, vamos identificar as componentes do nosso vetor v = k r. Sabemos que r = (x, y, z), então:
v = k r = (k x, k y, k z)
Isso significa que:
  • vx = k x
  • vy = k y
  • vz = k z

Passo 4

Com as componentes identificadas, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para o divergente:
partial vxpartial x = partial (k x)partial x = k
partial vypartial y = partial (k y)partial y = k
partial vzpartial z = partial (k z)partial z = k

Passo 5

Agora, somamos todas as derivadas parciais para encontrar o divergente:
nabla cdot v = k + k + k = 3k

Resposta

O divergente de v é igual a 3k.

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