Estabeleça a identidade dada abaixo.

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade de soma de argumentos para o cosseno hiperbólico, ou seja, mostrar que cosh(z1+z2)=cosh z1,cosh z2+senh z1,senh z2. Este conteúdo faz parte das funções hiperbólicas e vamos usar as definições de cosh z e senh z.

Passo 2

As definições que vamos usar são:
cosh z = e^z + e^-z2,
senh z = e^z - e^-z2

Passo 3

Vamos então calcular o lado direito da identidade substituindo as definições e expandindo:
cosh z1,cosh z2 + senh z1,senh z2 &= e^z1+e^-z12cdote^z2+e^-z22 + e^z1-e^-z12cdote^z2-e^-z22 &= 14l(e^z1+z2+e^z1-z2+e^-z1+z2+e^-z1-z2 &;+e^z1+z2-e^z1-z2-e^-z1+z2+e^-z1-z2r)

Passo 4

Agrupando os termos semelhantes no numerador, obtemos
14l(2e^z1+z2+2e^-z1-z2r) = e^z1+z2+e^-z1-z22, que, pela definição, é exatamente cosh(z1+z2). Portanto, a identidade está estabelecida.

Resposta

cosh(z1+z2)=cosh z1,cosh z2+senh z1,senh z2.

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