Mostre que
lim (x, y) (0,0) cos (x y)-1x=0

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos mostrar que
lim(x,y)to(0,0)cos(xy)-1x=0
Isso envolve limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos usar o Teorema do Valor Médio (MVT) aplicado à função tmapstocos t e, em seguida, estimar o quociente para obter o resultado.

Passo 2

Aplicar o Teorema do Valor Médio: seja f(t)=cos t. Pelo MVT, para cada (x,y) existe xi entre 0 e xy tal que
f(xy)-f(0)=f'(xi),(xy-0)
ou seja
cos(xy)-1=-sin(xi),xy

Passo 3

Dividir por x e estimar o valor absoluto: dividindo ambos os lados por x (assumindo xneq0), obtemos
cos(xy)-1x=-sin(xi),y
Como |sin(xi)|<=1, segue
|cos(xy)-1x|<=|y|
Quando (x,y)to(0,0), temos |y|to0. Pelo Teorema do Confronto, o quociente também tende a zero.

Resposta

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