Estabeleça a identidade dada abaixo.
senh(z+imath pi)=-senh z ; cosh (z+imath pi)=-cosh z ; tanh (z+imath pi)=tanh z

Passo 1

O enunciado pede para mostrar três identidades envolvendo as funções hiperbólicas deslocadas por um termo imaginário imathpi. O conteúdo principal que vamos usar é a definição das funções sinh, cosh e tanh em termos de exponenciais, junto com a identidade de Euler para e^imathpi = -1.

Passo 2

Usando a definição
sinh w = e^w - e^-w2,
vamos calcular sinh(z + imathpi). Primeiro note que
e^z + imathpi = e^z cdot e^imathpi = -e^z
e
e^-(z + imathpi) = e^-z cdot e^-imathpi = -e^-z
Substituindo na definição de sinh:
sinh(z + imathpi) = -e^z - (-e^-z)2 = -e^z + e^-z2 = -e^z - e^-z2 = -sinh z

Passo 3

Agora use a definição
cosh w = e^w + e^-w2
e os mesmos valores de e^z+imathpi e e^-(z+imathpi). Logo:
cosh(z + imathpi) = -e^z + (-e^-z)2 = -e^z + e^-z2 = -cosh z

Passo 4

Por fim, a função tanh é definida como tanh w = dfracsinh wcosh w. Então:
tanh(z + imathpi) = sinh(z + imathpi)cosh(z + imathpi) = -sinh z-cosh z = sinh zcosh z = tanh z

Resposta

As identidades ficam:
sinh(z+imathpi) = -sinh z,
cosh(z+imathpi) = -cosh z
e
tanh(z+imathpi) = tanh z.

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