Estabeleça a identidade dada abaixo.
Passo 1
Estamos mostrando que para números reais x e y vale a identidade envolvendo a parte real e imaginária da função cosseno no argumento complexo; o conteúdo é funções trigonométricas complexas e vamos usar a definição de cosseno via exponenciais.
Passo 2
Lembramos da definição de cosseno para um argumento complexo z:
Passo 3
Agora tomamos z = x + i y e calculamos separadamente as exponenciais:
$$
e^{i(x + i y)} = e^{i x - y} = e^{-y}\bigl(\cos x + i \sin x\bigr),$$
$$
e^{-i(x + i y)} = e^{-i x + y} = e^{y}\bigl(\cos x - i \sin x\bigr).$$
Passo 4
Substituindo essas expressões na definição de
e agrupando a parte real e imaginária, temos:
Passo 5
Reconhecendo as hiperbólicas
e
, obtemos a identidade desejada.
Resposta
(\cos(x + i y) = \cos x;\cosh y ;-\