Estabeleça a identidade dada abaixo.
cos (x+imath y)=cos x cosh y-imath sen x senh y

Passo 1

Estamos mostrando que para números reais x e y vale a identidade envolvendo a parte real e imaginária da função cosseno no argumento complexo; o conteúdo é funções trigonométricas complexas e vamos usar a definição de cosseno via exponenciais.

Passo 2

Lembramos da definição de cosseno para um argumento complexo z:
cos z = e^i z + e^-i z2

Passo 3

Agora tomamos z = x + i y e calculamos separadamente as exponenciais:
$$
e^{i(x + i y)} = e^{i x - y} = e^{-y}\bigl(\cos x + i \sin x\bigr),$$
$$
e^{-i(x + i y)} = e^{-i x + y} = e^{y}\bigl(\cos x - i \sin x\bigr).$$

Passo 4

Substituindo essas expressões na definição de cos z e agrupando a parte real e imaginária, temos:
cos(x + i y) = e^-y(cos x + isin x) + e^y(cos x - isin x)2
= (e^y + e^-y)cos x2 - i(e^y - e^-y)sin x2

Passo 5

Reconhecendo as hiperbólicas cosh y = tfrace^y + e^-y2 e sinh y = tfrace^y - e^-y2, obtemos a identidade desejada.

Resposta

(\cos(x + i y) = \cos x;\cosh y ;-\

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