d yd x=(yx)^2-2 yx x>0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é dydx = (yx)^2 - 2(yx). Esse tipo de equação pertence ao conteúdo de equações diferenciais, mais especificamente equações homogêneas. Para resolver, vamos precisar fazer uma substituição que simplifica a equação, facilitando a integração depois.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir $ v = \frac{y}{x} $. Isso significa que $ y = v \cdot x $. Agora, vamos derivar $ y $ em relação a $ x $:
v = yx

Passo 3

Substituindo $ \frac{dy}{dx} $ e $ y $ na equação original, temos:
dydx
Vamos reorganizar essa equação para isolar $ \frac{dv}{dx} $:
y
v + x cdot dvdx = v^2 - 2v

Passo 4

Agora, a equação está na forma separável, ou seja, podemos separar as variáveis $ v $ e $ x $:
v
Para facilitar a integração, vamos usar a fração parcial na parte da esquerda:
x
Resolvendo para $ A $ e $ B $:
dvv(v - 3) = dxx
Para $ v = 0 $:
1v(v - 3) = Av + Bv - 3
Para $ v = 3 $:
A
Então,
B

Passo 5

Agora, substituindo de volta na integral:
-13 integral 1v dv + 13 integral 1v - 3 dv = integral 1x dx
Integrando ambos os lados:
-13 ln|v| + 13 ln|v - 3| = ln|x| + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por 3 para simplificar:
- ln|v| + ln|v - 3| = 3 ln|x| + C'
Onde $ C’ = 3C $.
Podemos reescrever isso como:
C' = 3C

Passo 7

Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
v - 3v = Cx^3
Onde $ C = e^{C’} $ é uma nova constante.
Resolvendo para $ v $:
C = e^C'
v
v - 3 = Cx^3 v

Passo 8

Lembrando que $ v = \frac{y}{x} $, substituímos de volta para encontrar $ y $:
v = yx
Multiplicando ambos os lados por $ x $:
y

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 3x1 - Cx^3
Onde $ C $ é uma constante arbitrária determinada pelas condições iniciais.

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