Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
. Esse tipo de equação pertence ao conteúdo de equações diferenciais, mais especificamente equações homogêneas. Para resolver, vamos precisar fazer uma substituição que simplifica a equação, facilitando a integração depois.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir $ v = \frac{y}{x} $. Isso significa que $ y = v \cdot x $. Agora, vamos derivar $ y $ em relação a $ x $:
Passo 3
Substituindo $ \frac{dy}{dx} $ e $ y $ na equação original, temos:
Vamos reorganizar essa equação para isolar $ \frac{dv}{dx} $:
Passo 4
Agora, a equação está na forma separável, ou seja, podemos separar as variáveis $ v $ e $ x $:
Para facilitar a integração, vamos usar a fração parcial na parte da esquerda:
Resolvendo para $ A $ e $ B $:
Para $ v = 0 $:
Para $ v = 3 $:
Então,
Passo 5
Agora, substituindo de volta na integral:
Integrando ambos os lados:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por 3 para simplificar:
Onde $ C’ = 3C $.
Podemos reescrever isso como:
Passo 7
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde $ C = e^{C’} $ é uma nova constante.
Resolvendo para $ v $:
Passo 8
Lembrando que $ v = \frac{y}{x} $, substituímos de volta para encontrar $ y $:
Multiplicando ambos os lados por $ x $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária determinada pelas condições iniciais.