Estabeleça a identidade dada abaixo.
|senh(x+imath y)|^2=senh^2 x+sen^2 y e |cosh (x+imath y)|^2=senh^2 x+cos ^2 y

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos provar as identidades envolvendo o módulo de funções hiperbólicas com argumento complexo,
|sinh(x+iy)|^2 = sinh^2 x + sin^2 y e |cosh(x+iy)|^2 = sinh^2 x + cos^2 y.
O assunto é funções hiperbólicas de variável complexa e vamos usar definições de sinh, cosh e a fórmula do módulo de número complexo.

Passo 2

Para um número complexo z = a + i b vale
|z|^2 = a^2 + b^2
Agora lembramos das definições de sinh e cosh para argumento complexo:
sinh(x+iy) = e^x+iy-e^-(x+iy)2 = sinh xcos y + i,cosh xsin y,
cosh(x+iy) = e^x+iy+e^-(x+iy)2 = cosh xcos y + i,sinh xsin y

Passo 3

Vamos calcular |sinh(x+iy)|^2. Separando parte real e imaginária:
|sinh(x+iy)|^2 = (sinh xcos y)^2 + (cosh xsin y)^2
Logo, usando (|a+ib|2=a2+b^2|, temos:

Passo 4

Agora simplificamos essa expressão. Primeiro expandindo:
(sinh xcos y)^2 + (cosh xsin y)^2 = sinh^2 xcos^2 y + cosh^2 xsin^2 y
Em seguida usamos as identidades cosh^2 x = 1 + sinh^2 x e cos^2 y + sin^2 y = 1. Assim:
sinh^2 xcos^2 y + (1+sinh^2 x)sin^2 y = sinh^2 x(cos^2 y+sin^2 y) + sin^2 y = sinh^2 x + sin^2 y

Passo 5

Agora repetimos para cosh(x+iy). A parte real é cosh xcos y e a imaginária é sinh xsin y. Logo:
|cosh(x+iy)|^2 = (cosh xcos y)^2 + (sinh xsin y)^2 = cosh^2 xcos^2 y + sinh^2 xsin^2 y

Passo 6

Para finalizar, aplicamos novamente cosh^2 x = 1+sinh^2 x e cos^2 y = 1-sin^2 y. Então:
cosh^2 xcos^2 y + sinh^2 xsin^2 y = (1+sinh^2 x)cos^2 y + sinh^2 xsin^2 y = cos^2 y + sinh^2 x(cos^2 y+sin^2 y) = sinh^2 x + cos^2 y

Passo 7

Dessa forma chegamos exatamente nas duas identidades pedidas.

Resposta

|sinh(x+iy)|^2 = sinh^2 x + sin^2 y e |cosh(x+iy)|^2 = sinh^2 x + cos^2 y.

Exercícios relacionados