Estabeleça a identidade dada abaixo.
e
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos provar as identidades envolvendo o módulo de funções hiperbólicas com argumento complexo,
O assunto é funções hiperbólicas de variável complexa e vamos usar definições de
,
e a fórmula do módulo de número complexo.
Passo 2
Para um número complexo
vale
Agora lembramos das definições de
e
para argumento complexo:
Passo 3
Vamos calcular
. Separando parte real e imaginária:
Logo, usando (|a+ib|2=a2+b^2|, temos:
Passo 4
Agora simplificamos essa expressão. Primeiro expandindo:
Em seguida usamos as identidades
e
. Assim:
Passo 5
Agora repetimos para
. A parte real é
e a imaginária é
. Logo:
Passo 6
Para finalizar, aplicamos novamente
e
. Então:
Passo 7
Dessa forma chegamos exatamente nas duas identidades pedidas.