Estabeleça a identidade dada abaixo.
sen imath z=imath senh z e operatorname c o s imath z=operatorname c o s h z

Passo 1

O enunciado pede para mostrar as identidades
sen(i z)=i,senh(z) e
cos(i z)=cosh(z). O conteúdo é funções trigonométricas e hiperbólicas no plano complexo, e vamos usar as definições dessas funções em termos de exponenciais.

Passo 2

Primeiro, lembramos as definições em termos de exponenciais:
senw=e^i w-e^-i w2i, cosw=e^i w+e^-i w2
E as funções hiperbólicas:
senhz=e^z-e^-z2, coshz=e^z+e^-z2

Passo 3

Agora, substituímos w=i z na definição de senw:
sen(i z) =e^i(i z)-e^-i(i z)2i =e^-z-e^z2i =-(e^z-e^-z)2i =-2,senhz2i =-senhzi =i,senhz

Passo 4

De forma análoga, substituímos w=i z na definição de cosw:
cos(i z) =e^i(i z)+e^-i(i z)2 =e^-z+e^z2 =coshz

Resposta

As identidades estabelecidas são:
sen(i z)=i,senh(z) e cos(i z)=cosh(z).

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