Estabeleça a identidade dada abaixo.
e

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções seno e cosseno complexas satisfazem as relações de co-função, ou seja, sen z = cos(π/2 – z) e cos z = sen(π/2 – z). Vamos usar as definições via fórmula de Euler para resolver.

Passo 2

Lembrando as fórmulas de Euler para funções trigonométricas complexas:
sin z = e^iz - e^-iz2i, cos z = e^iz + e^-iz2

Passo 3

Para provar que sin z = cosl(tfracpi2-zr), começamos escrevendo cos(tfracpi2-z) pela definição:
cosl(tfracpi2-zr) = e^i(tfracpi2-z) + e^-i(tfracpi2-z)2

Passo 4

Agora simplificamos as exponenciais usando e^i(tfracpi2-z) = e^itfracpi2 e^-iz = i,e^-iz e e^-i(tfracpi2-z) = e^-itfracpi2 e^iz = -i,e^iz. Substituindo:
cosl(tfracpi2-zr) = i,e^-iz + (-i),e^iz2 = i,e^-iz - i,e^iz2 = e^iz - e^-iz2i

Passo 5

Mas observe que essa última expressão é exatamente a definição de sin z. Logo obtivemos
cosl(tfracpi2-zr) = sin z

Passo 6

Para a segunda identidade, fazemos procedimento análogo com sin(tfracpi2-z):
$$\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}-z\bigr) = \frac{e^{i(\tfrac{\pi}{2}-z)} - e^{-i(\tfrac{\pi}{2}-z)}}{2i}.
$$

Passo 7

Usando as mesmas substituições e^i(tfracpi2-z) = i,e^-iz e e^-i(tfracpi2-z) = -i,e^iz e simplificando, vem:
sinl(tfracpi2-zr) = i,e^-iz - (-i),e^iz2i = i,e^-iz + i,e^iz2i = e^iz + e^-iz2,
o que é exatamente cos z.

Passo 8

Portanto, estabelecemos as duas identidades desejadas.

Resposta

sen z = cos(π/2 – z) e cos z = sen(π/2 – z)

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