Estabeleça a identidade dada abaixo.
e
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as funções seno e cosseno complexas satisfazem as relações de co-função, ou seja, sen z = cos(π/2 – z) e cos z = sen(π/2 – z). Vamos usar as definições via fórmula de Euler para resolver.
Passo 2
Lembrando as fórmulas de Euler para funções trigonométricas complexas:
Passo 3
Para provar que
, começamos escrevendo
pela definição:
Passo 4
Agora simplificamos as exponenciais usando
e
. Substituindo:
Passo 5
Mas observe que essa última expressão é exatamente a definição de
. Logo obtivemos
Passo 6
Para a segunda identidade, fazemos procedimento análogo com
:
$$\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}-z\bigr) = \frac{e^{i(\tfrac{\pi}{2}-z)} - e^{-i(\tfrac{\pi}{2}-z)}}{2i}.
$$
Passo 7
Usando as mesmas substituições
e
e simplificando, vem:
o que é exatamente
Passo 8
Portanto, estabelecemos as duas identidades desejadas.
Resposta
sen z = cos(π/2 – z) e cos z = sen(π/2 – z)