2-(1,0 cada item)Calcule as integrais usando o método adequado e simplifique:
\int \sqrt[3]{8(x-2)^{6}\left(x+\frac{1}{2}\right)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \sqrt[3]{8(x-2)^{6}\Bigl(x+\tfrac12\Bigr)^{3}}\;dx
usando o método adequado. O conteúdo aqui é simplificar a raiz cúbica aplicando regras de potência e depois integrar o polinômio resultante.

Passo 2

Dentro da raiz cúbica temos produto de fatores elevados a potências, então usamos
\sqrt[3]{a\,b}=\sqrt[3]{a}\,\sqrt[3]{b} \quad\text{e}\quad \sqrt[3]{c^k}=c^{k/3}.
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\sqrt[3]{8(x-2)^{6}\Bigl(x+\tfrac12\Bigr)^{3}} = \sqrt[3]{8}\;\sqrt[3]{(x-2)^{6}}\;\sqrt[3]{\Bigl(x+\tfrac12\Bigr)^{3}} =2\,(x-2)^{2}\,\Bigl(x+\tfrac12\Bigr).

Passo 3

Agora o integrando virou um polinômio:
2\,(x-2)^{2}\,\Bigl(x+\tfrac12\Bigr).
Para facilitar, expandimos este produto. Primeiro
(x-2)^{2}=x^{2}-4x+4,
então
2\,(x-2)^{2}\,\Bigl(x+\tfrac12\Bigr) =2\bigl(x^{2}-4x+4\bigr)\,x +2\bigl(x^{2}-4x+4\bigr)\,\tfrac12.
Isso dá
2\bigl(x^{3}-4x^{2}+4x\bigr) + \bigl(x^{2}-4x+4\bigr) =2x^{3}-8x^{2}+8x +x^{2}-4x+4 =2x^{3}-7x^{2}+4x+4.

Passo 4

Integrando termo a termo o polinômio
\int\bigl(2x^{3}-7x^{2}+4x+4\bigr)\,dx
fazemos:
\int 2x^{3}\,dx = \tfrac12 x^{4},\quad \int -7x^{2}\,dx = -\tfrac{7}{3}x^{3},\quad \int 4x\,dx = 2x^{2},\quad \int 4\,dx = 4x.

Resposta

\int \sqrt[3]{8(x-2)^{6}\Bigl(x+\tfrac12\Bigr)^{3}}\,dx =\tfrac12 x^{4}-\tfrac{7}{3}x^{3}+2x^{2}+4x + C.

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