Estabeleça o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de três planos dois a dois secantes segundo três retas distintas.
Passo 1
Temos três planos em posição geral (cada par se intersecta segundo uma reta e todos três se intersectam num ponto único ). Queremos o lugar geométrico dos pontos tais que
onde é a distância de ao plano . Vamos usar o fato clássico de que o conjunto de pontos equidistantes de dois planos é a união dos dois planos bissetores dos ângulos diédricos formados por esses planos.
Passo 2
Seja dado por
então
Para P1 e P2, a condição d(X,P1)=d(X,P2) equivale a
Isto define dois planos — os bissetores dos ângulos diédricos de P1 e P2. Denotemos-os por B12^+ (com sinal “+”) e B12^- (com sinal “–”), cujas equações são
Para que X seja equidistante também de P2 e P3, basta que já tenhamos
d(X,P1)=d(X,P2) e d(X,P1)=d(X,P3),
pois daí segue d(X,P2)=d(X,P3). Logo, X deve pertencer simultaneamente a um B12^varepsilon e a um B13^de<a, com varepsilon,de<ain+,-. Cada escolha (varepsilon,de<a) fixa dois planos cujas interseção é uma reta que passa pelo ponto O=P1cap P2cap P3.
Passo 5
Como há 2 escolhas de sinal em B12^pm e 2 em B13^pm, obtemos 2times2=4 retas distintas, todas passando por O. Cada uma destas retas é o lugar geométrico dos pontos que satisfazem
d(X,P1)=d(X,P2)=d(X,P3)
com as combinações de sinais escolhidas.
Resposta
O lugar geométrico é a união de quatro retas que passam pelo ponto comum O=P1cap P2cap P3; essas retas são as interseções dos dois planos bissetores de P1,P2 com os dois planos bissetores de P1,P3.