Estabeleça o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de três planos dois a dois secantes segundo três retas distintas.

Passo 1

Temos três planos P1,P2,P3 em posição geral (cada par se intersecta segundo uma reta e todos três se intersectam num ponto único O). Queremos o lugar geométrico dos pontos X=(x,y,z) tais que
d(X,P1)=d(X,P2)=d(X,P3),
onde d(X,Pi) é a distância de X ao plano Pi. Vamos usar o fato clássico de que o conjunto de pontos equidistantes de dois planos é a união dos dois planos bissetores dos ângulos diédricos formados por esses planos.

Passo 2

Seja Pi dado por
alphai x+betai y+gammai z+de<ai=0,
então
d(X,Pi)=l|alphai x+betai y+gammai z+de<air|raizalphai^2+betai^2+gammai^2
Para P1 e P2, a condição d(X,P1)=d(X,P2) equivale a
l|alpha1 x+beta1 y+gamma1 z+de<a1r| =l|alpha2 x+beta2 y+gamma2 z+de<a2r|
Isto define dois planos — os bissetores dos ângulos diédricos de P1 e P2. Denotemos-os por B12^+ (com sinal “ +”) e B12^- (com sinal “–”), cujas equações são
alpha1 x+beta1 y+gamma1 z+de<a1 =pml(alpha2 x+beta2 y+gamma2 z+de<a2r)

Passo 3

Analogamente, para P1 e P3 obtemos dois planos bissetores B13^+ e B13^- dados por
alpha1 x+beta1 y+gamma1 z+de<a1 =pml(alpha3 x+beta3 y+gamma3 z+de<a3r)

Passo 4

Para que X seja equidistante também de P2 e P3, basta que já tenhamos
d(X,P1)=d(X,P2) e d(X,P1)=d(X,P3),
pois daí segue d(X,P2)=d(X,P3). Logo, X deve pertencer simultaneamente a um B12^varepsilon e a um B13^de<a, com varepsilon,de<ain+,-. Cada escolha (varepsilon,de<a) fixa dois planos cujas interseção é uma reta que passa pelo ponto O=P1cap P2cap P3.

Passo 5

Como há 2 escolhas de sinal em B12^pm e 2 em B13^pm, obtemos 2times2=4 retas distintas, todas passando por O. Cada uma destas retas é o lugar geométrico dos pontos que satisfazem
d(X,P1)=d(X,P2)=d(X,P3)
com as combinações de sinais escolhidas.

Resposta

O lugar geométrico é a união de quatro retas que passam pelo ponto comum O=P1cap P2cap P3; essas retas são as interseções dos dois planos bissetores de P1,P2 com os dois planos bissetores de P1,P3.

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