Prove que, em todo tetraedro de arestas opostas ortogonais:
os produtos das arestas opostas estão na razão inversa das mais curtas distâncias entre essas arestas;
Passo 1
Temos um tetraedro em que as arestas opostas são mutuamente ortogonais, ou seja , ACperpBD e ADperpBC.
Queremos mostrar que, se d1 é a distância mínima entre as retas AB e CD, d2 entre AC e BD, e d3 entre AD e BC, então
ABcdot CD : ACcdot BD : ADcdot BC = 1d1 : 1d2 : 1d3
Para isso, vamos usar a fórmula do volume de um tetraedro em função de duas arestas skew ortogonais e da distância entre elas.
Passo 2
Considere as arestas AB e CD. Defina e = AB, f = CD e t = AC.
O volume de ABCD pode ser escrito como
V = 16,l|det( e, t, t+ f)r|
Mas det( e, t, t)=0 e det( e, t, t+ f)=det( e, t, f),
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V = 16,l|det( e, t, f)r| = 16,l|( etimes f)cdot tr|
Como eperp f, tem-se
| etimes f| = | e|,| f| = ABcdot CD
Além disso, a distância mínima d1 entre as retas que contêm AB e CD é