Prove que, em todo tetraedro de arestas opostas ortogonais:
os produtos das arestas opostas estão na razão inversa das mais curtas distâncias entre essas arestas;

Passo 1

Temos um tetraedro ABCD em que as arestas opostas são mutuamente ortogonais, ou seja
ABperpCD,
ACperpBD e
ADperpBC.
Queremos mostrar que, se d1 é a distância mínima entre as retas AB e CD, d2 entre AC e BD, e d3 entre AD e BC, então
ABcdot CD : ACcdot BD : ADcdot BC = 1d1 : 1d2 : 1d3
Para isso, vamos usar a fórmula do volume de um tetraedro em função de duas arestas skew ortogonais e da distância entre elas.

Passo 2

Considere as arestas AB e CD. Defina
e = AB,
f = CD e
t = AC.
O volume de ABCD pode ser escrito como
V = 16,l|det( e, t, t+ f)r|
Mas det( e, t, t)=0 e
det( e, t, t+ f)=det( e, t, f),
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V = 16,l|det( e, t, f)r| = 16,l|( etimes f)cdot tr|
Como eperp f, tem-se
| etimes f| = | e|,| f| = ABcdot CD
Além disso, a distância mínima d1 entre as retas que contêm AB e CD é
d1 = l| tcdot etimes f| etimes f|r| = l|( etimes f)cdot tr|| etimes f|
Substituindo em V, vem
V = 16,l|( etimes f)cdot tr| = 16,d1;| etimes f| = 16,d1,(ABcdot CD)

Passo 3

Repetindo exatamente o mesmo raciocínio para os outros dois pares ortogonais, obtemos
V = 16,d1,(ABcdot CD) = 16,d2,(ACcdot BD) = 16,d3,(ADcdot BC),
onde d2 é a distância entre AC e BD, e d3 entre AD e BC.

Passo 4

Como todas essas expressões representam o mesmo volume V, podemos igualá-las e obter
ABcdot CD : ACcdot BD : ADcdot BC = 1d1 : 1d2 : 1d3

Resposta

Os produtos das arestas opostas estão na razão inversa das distâncias mínimas entre elas, ou seja
ABcdot CD : ACcdot BD : ADcdot BC = tfrac1d1 : tfrac1d2 : tfrac1d3

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