Determine a área de um fuso de 45^circ em uma esfera de 10 cm de raio.

Passo 1

O enunciado pede a área de um fuso esférico de 45^circ numa esfera de raio 10 cm. O conteúdo aqui é geometria esférica: um fuso (ou lune) é a região limitada por dois semicírculos máximos que se interceptam nos polos, de ângulo central alpha. Para resolver, precisamos usar a relação entre o ângulo alpha e a fração da área total da esfera.

Passo 2

Convertendo o ângulo de graus para radianos:
alpha = 45^circ = 45pi180 = pi4

Passo 3

A área total da esfera de raio R é
4pi R^2
Como o fuso ocupa uma fração tfracalpha2pi dessa área, temos
A = alpha2pi times 4pi R^2 = 2,alpha,R^2

Passo 4

Substituindo alpha = tfracpi4 e R = 10 cm:
A = 2 times pi4 times (10)^2 = pi2 times 100 = 50pi

Resposta

A área do fuso esférico é 50pi cm^2.

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