Estabeleça a relação entre K e K_p, para a reação \mathrm{H}_{2} \mathrm{CO}(\mathrm{g}) \rightleftharpoons \mathrm{CO}(\mathrm{g})+ \mathrm{H}_{2}(\mathrm{~g}).

Passo 1

O enunciado pede: estabelecer a relação entre K e K_p para a reação
\mathrm{H}_{2}\mathrm{CO}(\mathrm{g}) \rightleftharpoons \mathrm{CO}(\mathrm{g}) + \mathrm{H}_{2}(\mathrm{g}).
Informações relevantes fornecidas:
  • Todos os participantes da reação são gases.
  • Quer-se uma relação entre a constante de equilíbrio em termos de concentrações (denotada aqui por K) e a constante de equilíbrio em termos de pressões parciais (denotada por K_p).
  • Não há outros dados numéricos; a relação pedida deve ser em termos de R (constante dos gases), T (temperatura) e/ou o número de mols gasosos envolvidos.

Passo 2

Definições e significado das constantes:
  • K (aqui entendido como K_c) é a constante de equilíbrio em termos de concentrações molares. Para esta reação,
K=\frac{[\mathrm{CO}]\,[\mathrm{H}_2]}{[\mathrm{H}_2\mathrm{CO}]},
onde cada [\cdot] é a concentração molar (mol·L^{-1}) no equilíbrio.
  • K_p é a constante de equilíbrio em termos de pressões parciais. Para esta reação,
K_p=\frac{P_{\mathrm{CO}}\;P_{\mathrm{H}_2}}{P_{\mathrm{H}_2\mathrm{CO}}},
onde cada P_i é a pressão parcial do gás i no equilíbrio.
Expliquei aqui o que K e K_p significam e como se escrevem para a reação dada.

Passo 3

Relação entre pressão e concentração (lei dos gases ideais):
Para um gás ideal vale a relação
P = c\,R\,T,
onde:
  • P é a pressão parcial do gás (por exemplo em Pa ou atm),
  • c é a concentração molar [\cdot] (mol·L^{-1}),
  • R é a constante dos gases (unidade compatível com as unidades escolhidas de P e c),
  • T é a temperatura absoluta (K).
Reescrevendo para cada espécie: P_i = [i]\,R\,T. É essa relação que vamos usar para conectar K e K_p.

Passo 4

Substituição na expressão de K_p:
Começando de
K_p=\frac{P_{\mathrm{CO}}\;P_{\mathrm{H}_2}}{P_{\mathrm{H}_2\mathrm{CO}}},
substitui-se P_i = [i]\,R\,T para cada termo:
K_p=\frac{([ \mathrm{CO}]\,R\,T)\;([ \mathrm{H}_2]\,R\,T)}{([ \mathrm{H}_2\mathrm{CO}]\,R\,T)}.
Agrupando os fatores:
K_p=\frac{[ \mathrm{CO}]\,[ \mathrm{H}_2]}{[ \mathrm{H}_2\mathrm{CO}]}\; (R\,T)^{2-1}.
Aqui o expoente 2-1 vem de contar os coeficientes estequiométricos dos gases: há 2 mols de gás nos produtos ( \mathrm{CO} e \mathrm{H}_2) e 1 mol de gás no reagente ( \mathrm{H}_2\mathrm{CO}).

Passo 5

Expressando com K e definindo \Delta n:
A razão de concentrações é exatamente K. Denotando \Delta n como a variação no número de mols gasosos (produtos menos reagentes), temos aqui \Delta n = 2-1 = 1. Assim a expressão geral resulta em
K_p = K\,(R\,T)^{\Delta n}.
Para esta reação, com \Delta n=1, obtemos a forma particular
K_p = K\,R\,T.

Passo 6

Comentário prático e sobre unidades (importante para prova):
  • A relação K_p = K\,(R\,T)^{\Delta n} é a fórmula padrão. Ao aplicá-la em exercícios, verifique as unidades de R e das grandezas para consistência (por exemplo, se [\,\cdot\,] estiver em mol·L^{-1} e P em atm, use R=0{,}08206\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}).
  • Em tratamento estrito de termodinâmica usando atividades adimensionais, aparecem razões com estados padrão ( p^\circ e c^\circ), mas para a maior parte das provas de química/termodinâmica introdutória a fórmula acima e o uso de K_c e K_p é o que se pede.

Resposta

K_p = K\,R\,T

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