Estabeleça as seguintes fórmulas para a função plurívoca logaritmo complexo, quaisquer que sejam z, w \in C, análogas ao caso real
\log \left(z^{n}\right)=n \log (z), \forall n \in Z.

Passo 1

O enunciado pede que eu estabeleça fórmulas para a função plurívoca “logaritmo complexo” válidas para quaisquer z,w\in\mathbb{C}, análogas à identidade real \log(z^n)=n\log(z) para n\in\mathbb{Z}. Informações e observações relevantes que recebemos/precisamos esclarecer antes de começar a resolver:
  • A função logaritmo complexo é plurívoca (multi‑valor). Por isso as igualdades serão entre conjuntos de valores (não entre números únicos), salvo quando for explicitado um ramo.
  • O logaritmo complexo não está definido em z=0. Portanto devemos assumir z\neq0 e w\neq0 quando usamos \Log.
  • O que precisamos estabelecer, de forma explícita, são fórmulas como:
    • a igualdade para o produto: \Log(zw) relacionada com \Log z e \Log w;
    • a igualdade para a divisão: \Log(z/w) relacionada com \Log z e \Log w;
    • a fórmula para potências inteiras: \Log(z^n) em relação a \Log z, para n\in\mathbb{Z}.
  • Não vou assumir nada mais: vou definir claramente o que é \Log (conjunto de todas as determinações) e depois provar as igualdades pedidas.

Passo 2

Definição precisa e interpretação da plurivalência (aula curta, passo a passo).
  • Para z\neq0 escrevemos z em forma polar como z=r e^{i\theta}, onde r=|z|>0 e \theta é algum argumento de z. O argumento é multi‑valor: se \theta é um argumento, então \theta+2k\pi também é argumento, para todo k\in\mathbb{Z}.
  • Definimos a função logaritmo plurívoca \Log z como o conjunto de todos os valores possíveis
\Log z=\{\,\ln r + i(\theta + 2k\pi)\mid k\in\mathbb{Z}\,\}.
Aqui \ln r é o logaritmo natural real do módulo r, e \theta é um argumento fixo arbitrário (qualquer escolha de \theta apenas desloca os índices k mas não altera o conjunto).
  • Interpretação prática: \Log z é um conjunto infinito de números complexos, separados verticalmente na direção imaginária por múltiplos inteiros de 2\pi i.
  • Exemplo rápido para ter o conceito na cabeça: se z=1 então r=1 e podemos tomar \theta=0, então
\Log 1=\{\,0 + 2\pi i k \mid k\in\mathbb{Z}\,\}=2\pi i\mathbb{Z}.

Passo 3

Prova da fórmula para o produto: \Log(zw)=\Log z + \Log w (onde \Log z+\Log w é o conjunto soma \{a+b\mid a\in\Log z,\; b\in\Log w\}).
  • Escreva z=r e^{i\theta} e w=s e^{i\varphi} com r,s>0 e \theta,\varphi quaisquer argumentos escolhidos.
  • Tome um elemento arbitrário a\in\Log z. Então, por definição, existe k\in\mathbb{Z} tal que
a=\ln r + i(\theta + 2k\pi).
  • Tome um elemento arbitrário b\in\Log w. Então existe m\in\mathbb{Z} tal que
b=\ln s + i(\varphi + 2m\pi).
  • Some a+b:
a+b = (\ln r + \ln s) + i\bigl(\theta+\varphi + 2(k+m)\pi\bigr).
Mas \ln r + \ln s = \ln(rs) e \theta+\varphi é um argumento de zw (pois zw = rs e^{i(\theta+\varphi)}). Portanto a+b tem a forma \ln(rs) + i(\text{argumento de }zw + 2K\pi) com K=k+m\in\mathbb{Z}. Assim a+b\in\Log(zw).
  • Concluímos que cada soma a+b com a\in\Log z, b\in\Log w pertence a \Log(zw). Logo
\Log z + \Log w \subseteq \Log(zw).
  • Para a inclusão inversa, pegue c\in\Log(zw). Então existe K\in\mathbb{Z} tal que
c=\ln(rs) + i(\theta+\varphi + 2K\pi).
Escreva K=k+m para inteiros k,m (sempre possível, por exemplo escolha k=K e m=0 ou outra decomposição). Então
c=\bigl(\ln r + i(\theta+2k\pi)\bigr) + \bigl(\ln s + i(\varphi+2m\pi)\bigr),
e os termos entre parênteses pertencem a \Log z e \Log w respectivamente. Portanto c\in\Log z + \Log w.
  • Assim temos a igualdade de conjuntos:
\Log(zw)=\Log z + \Log w.
  • Comentário didático: a prova é só decompor os inteiros que aparecem nos múltiplos de 2\pi, e perceber que a soma de argumentos funciona exatamente como no caso real, só que agora trabalhando com conjuntos de valores.

Passo 4

Prova da fórmula para a divisão: \Log(z/w)=\Log z - \Log w.
  • A argumentação é análoga à do produto. Escreva z=r e^{i\theta}, w=s e^{i\varphi}.
  • Para a\in\Log z e b\in\Log w com
a=\ln r + i(\theta+2k\pi),\qquad b=\ln s + i(\varphi+2m\pi),
temos
a-b = (\ln r - \ln s) + i\bigl(\theta-\varphi + 2(k-m)\pi\bigr).
Mas \ln r - \ln s = \ln(r/s) e \theta-\varphi é um argumento de z/w (pois z/w=(r/s)e^{i(\theta-\varphi)}). Logo a-b\in\Log(z/w).
  • A inclusão inversa segue decompondo o inteiro que aparece na expressão de um elemento de \Log(z/w). Portanto
\Log(z/w)=\Log z - \Log w.

Passo 5

Fórmula para potências inteiras: estudo do caso n\in\mathbb{Z}.
  • Primeiro caso: n\in\mathbb{Z}_{>0} (positivo).
    • Escreva z=r e^{i\theta}. Então z^n = r^n e^{i n\theta}.
    • Os elementos de \Log(z^n) são todos os números da forma
    \ln(r^n) + i\bigl(n\theta + 2k\pi\bigr) = n\ln r + i\bigl(n\theta + 2k\pi\bigr),\qquad k\in\mathbb{Z}.
    • Os elementos de n\Log z (isto é, multiplicar por n cada elemento de \Log z) são
    n\bigl(\ln r + i(\theta + 2m\pi)\bigr) = n\ln r + i\bigl(n\theta + 2 n m \pi\bigr),\qquad m\in\mathbb{Z}.
    • Observe que os incrementos imaginários em \Log(z^n) são múltiplos de 2\pi (passo 2\pi), enquanto em n\Log z são múltiplos de 2\pi n. Logo n\Log z é um subconjunto de \Log(z^n), mas \Log(z^n) tem elementos adicionais correspondentes às classes residuais dos inteiros módulo n.
    • Para descrever exatamente \Log(z^n) em termos de n\Log z, faça a decomposição do índice: dado k\in\mathbb{Z}, escreva k = n m + t com m\in\mathbb{Z} e t\in\{0,1,\dots,n-1\}. Então
    n\ln r + i\bigl(n\theta + 2k\pi\bigr) = n\bigl(\ln r + i(\theta + 2m\pi)\bigr) + 2\pi i t.
    • Isso mostra que cada elemento de \Log(z^n) é de forma n w + 2\pi i t com w\in\Log z e t\in\{0,\dots,n-1\}. Assim
    \Log(z^n)=\bigcup_{t=0}^{n-1}\bigl(n\Log z + 2\pi i t\bigr).
    • Observação: em particular n\Log z\subseteq \Log(z^n), e para n>1 a igualdade simples \Log(z^n)=n\Log z em geral NÃO vale — faltam os termos com t\neq0.
  • Segundo caso: n\in\mathbb{Z}_{<0} (negativo). Seja n=-m com m>0. Então z^n = z^{-m} = 1/z^{m}. Usando a fórmula da divisão e o caso positivo já estabelecido, obtém‑se a expressão análoga: \Log(z^{n}) = \Log\bigl(z^{-m}\bigr) = \bigcup_{t=0}^{m-1}\bigl(n\Log z + 2\pi i t\bigr).Observação: aqui |n|=m aparece na contagem dos ramos residuais.
  • Terceiro caso: n=0. Temos z^{0}=1 (para z\neq0). Então \Log(1)=\{2\pi i k \mid k\in\mathbb{Z}\}=2\pi i\mathbb{Z},enquanto 0\cdot\Log z=\{0\}. Portanto para n=0 a identidade \Log(z^n)=n\Log z não vale; é um caso especial.
  • Resumo prático para inteiros n\neq0: escrevendo |n| o valor absoluto de n,
\Log(z^n)=\bigcup_{t=0}^{|n|-1}\bigl(n\Log z + 2\pi i t\bigr).
Isto cobre n>0 e n<0 (com o mesmo formato, lembrando que n\Log z emprega o n possivelmente negativo).

Passo 6

Exemplos ilustrativos e observações finais (úteis para a prova).
  • Exemplo 1: tome z= e^{i\pi/3} (módulo 1, argumento principal \pi/3). Então \Log z = \{\, i(\tfrac{\pi}{3} + 2k\pi)\mid k\in\mathbb{Z}\,\}.Para n=3, z^3 = e^{i\pi} e \Log(z^3)=\{\, i(\pi + 2k\pi)\mid k\in\mathbb{Z}\,\}.A fórmula com união dá \Log(z^3)=\bigcup_{t=0}^{2}\bigl(3\Log z + 2\pi i t\bigr),e de fato 3\Log z só produz os valores com saltos de 6\pi i, faltando os dois deslocamentos 2\pi i e 4\pi i para cobrir todos os elementos de \Log(z^3).
  • Observação útil para provas: quando se trabalha com o ramo principal \operatorname{Log} (função univalorada que toma o argumento em (-\pi,\pi] por exemplo), aí algumas igualdades como \operatorname{Log}(zw)=\operatorname{Log} z + \operatorname{Log} w deixam de ser verdadeiras em geral; por isso é essencial trabalhar com a função plurívoca \Log (conjuntos) para recuperar as identidades formais.

Resposta

\Log(zw)=\Log z + \Log w.\n
\Log(z/w)=\Log z - \Log w.\n
Para n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}: \displaystyle \Log(z^n)=\bigcup_{t=0}^{|n|-1}\bigl(n\Log z + 2\pi i t\bigr).\n
\Log(1)=2\pi i\mathbb{Z} (caso especial n=0, logo \Log(z^0)\neq 0\cdot\Log z em geral).

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