Estabeleça as seguintes fórmulas para a função plurívoca logaritmo complexo, quaisquer que sejam
, análogas ao caso real
.
Passo 1
O enunciado pede que eu estabeleça fórmulas para a função plurívoca “logaritmo complexo” válidas para quaisquer
, análogas à identidade real
para
. Informações e observações relevantes que recebemos/precisamos esclarecer antes de começar a resolver:
- A função logaritmo complexo é plurívoca (multi‑valor). Por isso as igualdades serão entre conjuntos de valores (não entre números únicos), salvo quando for explicitado um ramo.
- O logaritmo complexo não está definido em
. Portanto devemos assumir e quando usamos . - O que precisamos estabelecer, de forma explícita, são fórmulas como:
- a igualdade para o produto: relacionada com e ;
- a igualdade para a divisão: relacionada com e ;
- a fórmula para potências inteiras:
em relação a
, para
.
- Não vou assumir nada mais: vou definir claramente o que é (conjunto de todas as determinações) e depois provar as igualdades pedidas.
Passo 2
Definição precisa e interpretação da plurivalência (aula curta, passo a passo).
- Para
escrevemos em forma polar como , onde e é algum argumento de . O argumento é multi‑valor: se é um argumento, então também é argumento, para todo . - Definimos a função logaritmo plurívoca como o conjunto de todos os valores possíveis
Aqui
é o logaritmo natural real do módulo
, e
é um argumento fixo arbitrário (qualquer escolha de
apenas desloca os índices
mas não altera o conjunto).
- Interpretação prática:
é um conjunto infinito de números complexos, separados verticalmente na direção imaginária por múltiplos inteiros de
. - Exemplo rápido para ter o conceito na cabeça: se
então e podemos tomar , então
Passo 3
Prova da fórmula para o produto:
(onde
é o conjunto soma
).
- Escreva
e com e quaisquer argumentos escolhidos. - Tome um elemento arbitrário
. Então, por definição, existe
tal que
- Tome um elemento arbitrário
. Então existe
tal que
- Some
:
Mas
e
é um argumento de
(pois
). Portanto
tem a forma
com
. Assim
.
- Concluímos que cada soma
com , pertence a . Logo
- Para a inclusão inversa, pegue
. Então existe
tal que
Escreva
para inteiros
(sempre possível, por exemplo escolha
e
ou outra decomposição). Então
e os termos entre parênteses pertencem a
e
respectivamente. Portanto
.
- Assim temos a igualdade de conjuntos:
- Comentário didático: a prova é só decompor os inteiros que aparecem nos múltiplos de
, e perceber que a soma de argumentos funciona exatamente como no caso real, só que agora trabalhando com conjuntos de valores.
Passo 4
Prova da fórmula para a divisão:
.
- A argumentação é análoga à do produto. Escreva
, . - Para e com
temos
Mas
e
é um argumento de
(pois
). Logo
.
- A inclusão inversa segue decompondo o inteiro que aparece na expressão de um elemento de . Portanto
Passo 5
Fórmula para potências inteiras: estudo do caso
.
- Primeiro caso:
(positivo). - Escreva
. Então . - Os elementos de são todos os números da forma
- Os elementos de
(isto é, multiplicar por
cada elemento de ) são
- Observe que os incrementos imaginários em
são múltiplos de
(passo ), enquanto em são múltiplos de . Logo é um subconjunto de , mas tem elementos adicionais correspondentes às classes residuais dos inteiros módulo . - Para descrever exatamente
em termos de
, faça a decomposição do índice: dado
, escreva com e . Então
- Isso mostra que cada elemento de
é de forma
com e . Assim
- Observação: em particular
, e para
a igualdade simples em geral NÃO vale — faltam os termos com .
- Escreva
- Segundo caso:
(negativo). Seja com . Então . Usando a fórmula da divisão e o caso positivo já estabelecido, obtém‑se a expressão análoga: Observação: aqui aparece na contagem dos ramos residuais. - Terceiro caso:
. Temos (para ). Então enquanto . Portanto para a identidade não vale; é um caso especial. - Resumo prático para inteiros
: escrevendo o valor absoluto de ,
Isto cobre
e
(com o mesmo formato, lembrando que
emprega o
possivelmente negativo).
Passo 6
Exemplos ilustrativos e observações finais (úteis para a prova).
- Exemplo 1: tome
(módulo , argumento principal ). Então Para , e A fórmula com união dá e de fato só produz os valores com saltos de , faltando os dois deslocamentos e para cobrir todos os elementos de . - Observação útil para provas: quando se trabalha com o ramo principal
(função univalorada que toma o argumento em por exemplo), aí algumas igualdades como deixam de ser verdadeiras em geral; por isso é essencial trabalhar com a função plurívoca (conjuntos) para recuperar as identidades formais.
Resposta
\n
\n
Para :
\n
(caso especial , logo
em geral).
\n
Para
(caso especial