Construa os gráficos da seguintes funções: g(x)=\left|x^{2}-1\right|,-3 \leq x<2.
Passo 1
O enunciado pede para “construir o gráfico” de
g(x)=\lvert x^{2}-1\rvert
no intervalo de domínio [-3,2).
O conteúdo aqui é manipular uma parábola f(x)=x^{2}-1 e aplicar o valor absoluto, o que “reflete” para cima as partes negativas de f. Precisaremos: 1. Entender o gráfico de f(x)=x^{2}-1. 2. Identificar onde f(x) é negativo e onde é não–negativo. 3. Escrever g(x) em forma de peça–a–peça e então traçar cada trecho no domínio dado.
Passo 2
Estude primeiro a função interna
f(x)=x^{2}-1.
É uma parábola de concavidade para cima, cujo vértice está em (0,-1) e que cruza o eixo x quando
x^{2}-1=0 \;\Longrightarrow\; x=\pm1.
Para \lvert x\rvert>1, f(x)\ge0; para \lvert x\rvert<1, f(x)<0.
Passo 3
Como g(x)=\lvert f(x)\rvert, temos o “espelhamento” de qualquer parte negativa de f. Logo, definimos
Combine essa definição com o domínio [-3,2). Assim há três trechos relevantes: 1. -3\le x\le -1: \lvert x\rvert\ge1 \to g(x)=x^{2}-1. 2. -1\le x\le 1: \lvert x\rvert\le1 \to g(x)=1-x^{2}. 3. 1\le x<2: \lvert x\rvert\ge1 \to g(x)=x^{2}-1.
Passo 5
Calcule valores em pontos-chave para cada trecho:
Em x=-3:g(-3)=(-3)^{2}-1=9-1=8.
Em x=-1:g(-1)=(-1)^{2}-1=0.
Em x=0:g(0)=1-0^{2}=1.
Em x=1:g(1)=1^{2}-1=0.
Quando x\to2^{-}:g(2^{-})=2^{2}-1=3,mas o ponto x=2 é excluído (aberto).
Passo 6
Descreva a forma de cada trecho:
No trecho [-3,-1], g(x)=x^{2}-1 é uma parábola de concavidade para cima, passando pelos pontos (-3,8) e (-1,0).
Em [-1,1], g(x)=1-x^{2} é uma parábola de concavidade para baixo, com vértice em (0,1) passando por (-1,0) e (1,0).
Em [1,2), volta a ser g(x)=x^{2}-1, parábola para cima, partindo de (1,0) até “quase” (2,3), mas com esse último ponto desenhado como aberto.
Passo 7
Marque os pontos de “troca” de fórmula (x=\pm1) com canto (cúspide), pois o valor absoluto cria uma dobra ali. No restante, os trechos são suaves e se unem sem descontinuidade. Especifique o fechamento ou abertura dos pontos:
(-3,8): fechado.
(-1,0) e (1,0): fechados.
(2,3): aberto.
Resposta
O gráfico de g em [-3,2) é dada por:
1. Traçar a parábola y=x^{2}-1 de -3 até -1. 2. Traçar a parábola invertida y=1-x^{2} de -1 até 1. 3. Traçar novamente y=x^{2}-1 de 1 até 2 (ponto em x=2 com círculo aberto).