Construa os gráficos da seguintes funções:
g(x)=\left|x^{2}-1\right|,-3 \leq x<2.

Passo 1

O enunciado pede para “construir o gráfico” de
g(x)=\lvert x^{2}-1\rvert
no intervalo de domínio [-3,2).
O conteúdo aqui é manipular uma parábola f(x)=x^{2}-1 e aplicar o valor absoluto, o que “reflete” para cima as partes negativas de f. Precisaremos:
1. Entender o gráfico de f(x)=x^{2}-1.
2. Identificar onde f(x) é negativo e onde é não–negativo.
3. Escrever g(x) em forma de peça–a–peça e então traçar cada trecho no domínio dado.

Passo 2

Estude primeiro a função interna
f(x)=x^{2}-1.
É uma parábola de concavidade para cima, cujo vértice está em (0,-1) e que cruza o eixo x quando
x^{2}-1=0 \;\Longrightarrow\; x=\pm1.
Para \lvert x\rvert>1, f(x)\ge0; para \lvert x\rvert<1, f(x)<0.

Passo 3

Como g(x)=\lvert f(x)\rvert, temos o “espelhamento” de qualquer parte negativa de f. Logo, definimos
g(x)= \begin{cases} x^{2}-1, & \text{se }x^{2}-1\ge0\;( \lvert x\rvert\ge1),\\\\ -(x^{2}-1)=1-x^{2}, & \text{se }x^{2}-1<0\;( \lvert x\rvert<1). \end{cases}

Passo 4

Combine essa definição com o domínio [-3,2). Assim há três trechos relevantes:
1. -3\le x\le -1: \lvert x\rvert\ge1 \to g(x)=x^{2}-1.
2. -1\le x\le 1: \lvert x\rvert\le1 \to g(x)=1-x^{2}.
3. 1\le x<2: \lvert x\rvert\ge1 \to g(x)=x^{2}-1.

Passo 5

Calcule valores em pontos-chave para cada trecho:
  • Em x=-3: g(-3)=(-3)^{2}-1=9-1=8.
  • Em x=-1: g(-1)=(-1)^{2}-1=0.
  • Em x=0: g(0)=1-0^{2}=1.
  • Em x=1: g(1)=1^{2}-1=0.
  • Quando x\to2^{-}: g(2^{-})=2^{2}-1=3,mas o ponto x=2 é excluído (aberto).

Passo 6

Descreva a forma de cada trecho:
  • No trecho [-3,-1], g(x)=x^{2}-1 é uma parábola de concavidade para cima, passando pelos pontos (-3,8) e (-1,0).
  • Em [-1,1], g(x)=1-x^{2} é uma parábola de concavidade para baixo, com vértice em (0,1) passando por (-1,0) e (1,0).
  • Em [1,2), volta a ser g(x)=x^{2}-1, parábola para cima, partindo de (1,0) até “quase” (2,3), mas com esse último ponto desenhado como aberto.

Passo 7

Marque os pontos de “troca” de fórmula (x=\pm1) com canto (cúspide), pois o valor absoluto cria uma dobra ali. No restante, os trechos são suaves e se unem sem descontinuidade. Especifique o fechamento ou abertura dos pontos:
  • (-3,8): fechado.
  • (-1,0) e (1,0): fechados.
  • (2,3): aberto.

Resposta

O gráfico de g em [-3,2) é dada por:
1. Traçar a parábola y=x^{2}-1 de -3 até -1.
2. Traçar a parábola invertida y=1-x^{2} de -1 até 1.
3. Traçar novamente y=x^{2}-1 de 1 até 2 (ponto em x=2 com círculo aberto).
Os pontos principais são
(-3,8),\;(-1,0),\;(0,1),\;(1,0),\;(2,3)\\ (\text{aberto}).

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