Estabeleça séries de Taylor para as funções seguintes na vizinha dos pontos indicadas.
\frac{x}{9+x} ; \quad x=0

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de
f(x)=\frac{x}{9+x}
em torno de x=0.
O conteúdo usado será a expansão em série geométrica de
\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{n}\quad\text{para }\lvert u\rvert<1.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=\frac{x}{9+x} =\frac{x}{9}\,\frac{1}{1+\tfrac{x}{9}}.
Aqui definimos u=\tfrac{x}{9}, de modo que \lvert u\rvert<1 equivale a \lvert x\rvert<9. Então aplicamos a série geométrica
\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{n}.

Passo 3

Substituindo u=\tfrac{x}{9} e multiplicando por \tfrac{x}{9}, obtemos
f(x) =\frac{x}{9}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\biggl(\frac{x}{9}\biggr)^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{n+1}}{9^{n+1}}.

Resposta

\frac{x}{9+x} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{n+1}}{9^{n+1}} =\frac{x}{9}-\frac{x^{2}}{9^{2}}+\frac{x^{3}}{9^{3}}-\cdots, \quad |x|<9.

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