Estabeleça séries de Taylor para as funções seguintes na vizinha dos pontos indicadas.
\frac{1}{x^{2}-6 x+8} ; x=0

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de
f(x)=\frac{1}{x^{2}-6x+8}
em torno de x=0.
Conteúdo: fatorar o denominador, usar frações parciais e depois desenvolver cada termo como série geométrica em x.

Passo 2

Fatoramos o denominador e obtemos frações parciais.
x^{2}-6x+8=(x-2)(x-4),
e
\frac{1}{(x-2)(x-4)} =\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-4}.
Igualando numeradores:
1=A(x-4)+B(x-2).
Em x=2 1=-2A\Rightarrow A=-\tfrac12.
Em x=4 1=2B\Rightarrow B=\tfrac12.
Logo
f(x) =-\frac{1/2}{x-2}+\frac{1/2}{x-4}.

Passo 3

Agora escrevemos cada termo como série em x.
Para \frac{1}{x-2}:
\frac{1}{x-2} =-\frac12\cdot\frac{1}{1-\tfrac{x}{2}} =-\frac12\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{n}, \quad |x|<2.
Para \frac{1}{x-4}:
\frac{1}{x-4} =-\frac14\cdot\frac{1}{1-\tfrac{x}{4}} =-\frac14\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{x}{4}\Bigr)^{n}, \quad |x|<4.

Passo 4

Substituindo em f(x):
f(x) =-\frac12\Bigl(-\frac12\sum_{n=0}^{\infty}\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)^{n}\Bigr) +\frac12\Bigl(-\frac14\sum_{n=0}^{\infty}\bigl(\tfrac{x}{4}\bigr)^{n}\Bigr).
Simplificando coeficientes:
f(x) =\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{n} -\frac{1}{8}\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{x}{4}\Bigr)^{n}, \quad |x|<2.

Passo 5

Podemos também escrever o coeficiente geral:
f(x) =\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(2^{-n-2}-2^{-2n-3}\Bigr)x^{n}, \quad |x|<2.

Resposta

\frac{1}{x^{2}-6x+8} =\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\tfrac{x}{2}\Bigr)^{n} -\frac{1}{8}\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\tfrac{x}{4}\Bigr)^{n}, \quad |x|<2.

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