Estabeleça séries de Taylor para as funções seguintes na vizinha dos pontos indicadas.
\frac{1}{9-x^{2}} ; \quad x=0

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor (Maclaurin) de
f(x)=\frac{1}{9 - x^{2}}
em torno de x=0.
O conteúdo principal é usar a série geométrica \frac{1}{1 - u} = \sum_{n=0}^{\infty}u^{n} válida para |u|<1.

Passo 2

Reescrevemos
\frac{1}{9 - x^{2}} = \frac{1}{9}\,\frac{1}{1 - \dfrac{x^{2}}{9}}
e identificamos u = \dfrac{x^{2}}{9}. A série geométrica vale para \bigl|x^{2}/9\bigr|<1, isto é, |x|<3.

Passo 3

Aplicando a série geométrica, temos
\frac{1}{1 - \tfrac{x^{2}}{9}} = \sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{x^{2}}{9}\Bigr)^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{9^{n}}.
Multiplicando por 1/9,
\frac{1}{9 - x^{2}} = \frac{1}{9}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{9^{n}} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{9^{\,n+1}}.

Resposta

\frac{1}{9 - x^{2}} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{9^{\,n+1}}, \quad |x|<3.

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