Estabelecer a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes para que sejam compatíveis os sistemas.
2 x+2 y+4 z & =a 6 x+11 y+8 z & =b 2 x+7 y & =c

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
2x + 2y + 4z = a, 6x + 11y + 8z = b, 2x + 7y + 0z = c,
e pede a condição que os termos independentes (a,b,c) devem satisfazer para que o sistema seja compatível (tenha solução). Vamos usar a ideia de posto da matriz de coeficientes e da matriz ampliada: para haver solução, o posto da matriz de coeficientes deve coincidir com o posto da matriz ampliada.

Passo 2

Formamos a matriz de coeficientes
A = 2 & 2 & 4 6 & 11 & 8 2 & 7 & 0
e calculamos seu determinante para ver se o posto é 3 ou menor:
det(A) =2l(11cdot0 - 8cdot7r) -2l(6cdot0 - 8cdot2r) +4l(6cdot7 -11cdot2r) =-112 +32 +80 = 0
Portanto rank(A)<3.

Passo 3

Para achar o posto exato, verificamos se as linhas são linearmente independentes. Observamos que a segunda linha é combinação das outras duas:
Como as linhas 1 e 3 não são múltiplos, o posto de é 2:

Passo 4

Agora consideramos a matriz ampliada
Para que seja também 2, a mesma relação linear entre as linhas de deve valer entre as linhas da parte ampliada. Ou seja, deve ocorrer
isto é

Resposta

A condição de compatibilidade é
boxedb - 2a - c = 0

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