Seja
um anel com unidade. Para cada elemento inversível
, seja
a aplicação dada pela lei
. Mostre que
é um isomorfismo e dê uma fórmula para
.
Chama-se comutador de dois elementos
e
de um anel
ao elemento
. Mostre que:
(Identidade de Jacobi).
Chama-se comutador de dois elementos
Passo 1
O enunciado está em dois blocos. Primeiro, dado um anel com unidade
e um elemento inversível
, definimos
Queremos mostrar que
é um isomorfismo de anéis e encontrar a fórmula de
. Depois, definimos o comutador
e devemos provar a identidade de Jacobi
Passo 2
Mostramos que
preserva soma e produto. Para todo
:
Logo
é homomorfismo de anéis.
Passo 3
Mostramos que
é bijetivo fornecendo sua inversa. Se
, então para todo
:
Assim
e
é um isomorfismo de anéis.
Passo 4
Para a composição, note que para quaisquer inversíveis
e todo
:
Portanto
Passo 5
Agora definimos o comutador
. Para provar a identidade de Jacobi, expandimos cada termo. Primeiro,
Passo 6
De modo análogo,
Somando esses três resultados, cada monômio em
aparece com sinais que se cancelam par a par, levando a soma a zero. Isso estabelece
Resposta
Além disso, o comutador
satisfaz a identidade de Jacobi