Seja A um anel com unidade. Para cada elemento inversível a in A, seja fa: A A a aplicação dada pela lei fa(x)=a x a^-1. Mostre que fa é um isomorfismo e dê uma fórmula para fa circ fb.
Chama-se comutador de dois elementos x e y de um anel A ao elemento f(x, y)=x y-y x. Mostre que:
f(x, f(y, z))+f(y, f(z, x))+f(z, f(x, y))=0 (Identidade de Jacobi).

Passo 1

O enunciado está em dois blocos. Primeiro, dado um anel com unidade A e um elemento inversível ain A, definimos
facolon Ato A, fa(x)=a x a^-1
Queremos mostrar que fa é um isomorfismo de anéis e encontrar a fórmula de facirc fb. Depois, definimos o comutador
[x,y]=xy-yx
e devemos provar a identidade de Jacobi
[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0

Passo 2

Mostramos que fa preserva soma e produto. Para todo x,yin A:
fa(x+y)=a(x+y)a^-1=axa^-1+aya^-1=fa(x)+fa(y),
fa(x,y)=a(xy)a^-1=(a x a^-1)(a y a^-1)=fa(x),fa(y)
Logo fa é homomorfismo de anéis.

Passo 3

Mostramos que fa é bijetivo fornecendo sua inversa. Se g=fa^-1, então para todo xin A:
g(fa(x))=a^-1(a x a^-1)a=x, fa(g(x))=a(a^-1 x a)a^-1=x
Assim g=fa^-1 e fa é um isomorfismo de anéis.

Passo 4

Para a composição, note que para quaisquer inversíveis a,bin A e todo xin A:
(facirc fb)(x) =fal(b x b^-1r) =al(b x b^-1r)a^-1 =(ab),x,(ab)^-1
Portanto
facirc fb=fab

Passo 5

Agora definimos o comutador [x,y]=xy-yx. Para provar a identidade de Jacobi, expandimos cada termo. Primeiro,
[x,[y,z]] = x,(yz-zy);-;(yz-zy),x = xyz - xzy - yzx + zyx

Passo 6

De modo análogo,
[y,[z,x]] = yzx - yxz - zxy + xzy,
[z,[x,y]] = zxy - zyx - xyz + yxz
Somando esses três resultados, cada monômio em x,y,z aparece com sinais que se cancelam par a par, levando a soma a zero. Isso estabelece
[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0

Resposta

fa é isomorfismo de anéis com inversa fa^-1, e para inversíveis a,b vale
facirc fb=fab
Além disso, o comutador [x,y]=xy-yx satisfaz a identidade de Jacobi
[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0

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