Sejam as funções reais f e g, definidas por f(x)=x^{2}-x-2 e g(x)=1-2 x. Determine:
a) f \circ g e g \circ f
b) (f \circ g)(-3)+(g \circ f)(-3)
c) os valores de x tal que (f \circ g)(x)=10.

Passo 1

O enunciado dá duas funções reais e pede três coisas. Informações fornecidas:
  • A função f é f(x)=x^{2}-x-2.
  • A função g é g(x)=1-2x.
O que é pedido:
a) Calcular f\circ g e g\circ f, ou seja as funções compostas (f\circ g)(x) e (g\circ f)(x).
b) Calcular (f\circ g)(-3)+(g\circ f)(-3).
c) Determinar os valores de x tais que (f\circ g)(x)=10.

Passo 2

O que significa composição de funções (aula rápida e prática). Se h=f\circ g, então por definição
(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big).
Isto quer dizer: primeiro calcula-se g(x) e depois substitui-se esse resultado no lugar de x na expressão de f. Como f e g são polinômios, estão definidas para todo x\in\mathbb{R}, então a composição está bem definida para todo real. Agora vamos aplicar essa regra passo a passo.

Passo 3

Calcular (f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big).
Começo substituindo g(x)=1-2x na expressão de f:
(f\circ g)(x)=\big(g(x)\big)^{2}-\big(g(x)\big)-2.
Agora explico cada termo: \big(g(x)\big)^{2}=(1-2x)^{2} (isso significa multiplicar 1-2x por ele mesmo), e -\big(g(x)\big)=- (1-2x). Vamos calcular:
(1-2x)^{2}=1-4x+4x^{2},
-(1-2x)=-1+2x.
Somando tudo:
(f\circ g)(x)=\big(1-4x+4x^{2}\big)+\big(-1+2x\big)-2.
Simplificando termos semelhantes (observe: 1-1 cancela):
(f\circ g)(x)=4x^{2}-2x-2.

Passo 4

Calcular (g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big).
Por definição,
(g\circ f)(x)=1-2\big(f(x)\big).
Substituindo f(x)=x^{2}-x-2:
(g\circ f)(x)=1-2\big(x^{2}-x-2\big).
Agora distribui o -2:
-2\big(x^{2}-x-2\big)=-2x^{2}+2x+4.
Somando com o 1:
(g\circ f)(x)=-2x^{2}+2x+5.

Passo 5

Agora calculo (f\circ g)(-3) e (g\circ f)(-3) usando as fórmulas que obtivemos.
Primeiro (f\circ g)(x)=4x^{2}-2x-2. Substituindo x=-3:
(f\circ g)(-3)=4(-3)^{2}-2(-3)-2.
Calcule passo a passo: (-3)^{2}=9, então 4\cdot9=36. Em seguida -2(-3)=6. Somando:
(f\circ g)(-3)=36+6-2=40.
Agora (g\circ f)(x)=-2x^{2}+2x+5. Substituindo x=-3:
(g\circ f)(-3)=-2(-3)^{2}+2(-3)+5.
Calcule: (-3)^{2}=9, então -2\cdot9=-18. E 2(-3)=-6. Somando:
(g\circ f)(-3)=-18-6+5=-19.
Somando os dois resultados:
(f\circ g)(-3)+(g\circ f)(-3)=40+(-19)=21.

Passo 6

Resolver (f\circ g)(x)=10. Usar a expressão que já temos:
(f\circ g)(x)=4x^{2}-2x-2.
Portanto a equação é
4x^{2}-2x-2=10.
Passo a passo: subtrai 10 dos dois lados:
4x^{2}-2x-12=0.
Podemos dividir toda a equação por 2 para simplificar:
2x^{2}-x-6=0.
É uma equação quadrática da forma ax^{2}+bx+c=0 com a=2, b=-1, c=-6. Vou aplicar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Calculo o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4\cdot2\cdot(-6)=1+48=49.
Como \sqrt{\Delta}=\sqrt{49}=7, obtemos
x=\frac{-(-1)\pm7}{2\cdot2}=\frac{1\pm7}{4}.
Portanto as duas soluções são
x=\frac{1+7}{4}=\frac{8}{4}=2, \qquad x=\frac{1-7}{4}=\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}.
Podemos verificar rapidamente substituindo na expressão 4x^{2}-2x-2: para x=2 16-4-2=10; para x=-\tfrac{3}{2} 9+3-2=10. Ambas funcionam.

Resposta

a) (f\circ g)(x)=4x^{2}-2x-2\
(g\circ f)(x)=-2x^{2}+2x+5
b) 21
c) x=2 e x=-\dfrac{3}{2}

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