Sejam as funções reais
e
, definidas por
e
. Determine:
a)
e
b)
c) os valores de
tal que
.
a)
b)
c) os valores de
Passo 1
O enunciado dá duas funções reais e pede três coisas. Informações fornecidas:
- A função
é . - A função
é .
O que é pedido:
a) Calcular e
, ou seja as funções compostas
e
.
b) Calcular .
c) Determinar os valores de tais que
.
a) Calcular
b) Calcular
c) Determinar os valores de
Passo 2
O que significa composição de funções (aula rápida e prática). Se
, então por definição
Isto quer dizer: primeiro calcula-se
e depois substitui-se esse resultado no lugar de
na expressão de
. Como
e
são polinômios, estão definidas para todo
, então a composição está bem definida para todo real. Agora vamos aplicar essa regra passo a passo.
Passo 3
Calcular
.
Começo substituindo
na expressão de
:
Agora explico cada termo:
(isso significa multiplicar
por ele mesmo), e
. Vamos calcular:
Somando tudo:
Simplificando termos semelhantes (observe:
cancela):
Passo 4
Calcular
.
Por definição,
Substituindo
:
Agora distribui o
:
Somando com o
:
Passo 5
Agora calculo
e
usando as fórmulas que obtivemos.
Primeiro
. Substituindo
:
Calcule passo a passo:
, então
. Em seguida
. Somando:
Agora
. Substituindo
:
Calcule:
, então
. E
. Somando:
Somando os dois resultados:
Passo 6
Resolver
. Usar a expressão que já temos:
Portanto a equação é
Passo a passo: subtrai
dos dois lados:
Podemos dividir toda a equação por
para simplificar:
É uma equação quadrática da forma
com
,
,
. Vou aplicar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
Calculo o discriminante:
Como
, obtemos
Portanto as duas soluções são
Podemos verificar rapidamente substituindo na expressão
: para
dá
; para
dá
. Ambas funcionam.
Resposta
a)
\
b)
c)
e