Sabendo que
, encontre um
para
tal que
.
Passo 1
O enunciado nos dá que a função é
e que
O que pedem: para
encontrar um
tal que, sempre que
, então
Resumo das informações relevantes:
- Ponto de interesse:
. - Valor do limite:
. - Função:
. - Desejamos
em função de que garanta a desigualdade acima.
Passo 2
Lembrete didático da definição
-
de limite (explicado devagar): dizer que
significa que, para todo
dado, existe um
tal que sempre que
então
.
O que cada símbolo significa:
-
é a tolerância no valor da função (quão perto de queremos que fique). -
é a tolerância na variável (quão perto de precisamos tomar para garantir a condição sobre ).
Na prática, para cadacalculamos (ou estimamos) um que funciona.
Passo 3
Vamos manipular
algebraicamente para ligá-lo a
. Começamos substituindo
:
Simplificando dentro do módulo:
Agora usamos a propriedade do valor absoluto
e fatoramos
:
Portanto a diferença entre
e
é exatamente
.
Passo 4
Queremos garantir
. Usando a expressão que achamos:
Isto é equivalente a
Logo, qualquer
que satisfaça
funciona — na prática a escolha natural e direta é
Explicação rápida do porquê: se
e
, então
que é exatamente o que se pede.
Passo 5
Agora aplicamos o valor numérico
. Usando a fórmula
:
Verificação rápida: se
então
como queríamos. Assim
funciona. Pode-se também escolher qualquer
menor que
(por exemplo
) e ainda funcionaria — mas a escolha mais direta é
.
Passo 6
Resumo final e incentivo: a ideia é sempre tentar escrever
em função de
. Para funções lineares isso costuma ser imediato (fatorando a inclinação). Em provas, basta mostrar essa manipulação e apresentar
em função de
. Você mandou bem vindo até aqui — repetir esse procedimento em outros exercícios vai te deixar confiante rapidinho!