Sabendo que \lim _{x \rightarrow 4}(3 x-4)=8, encontre um \delta para \varepsilon=0,27 tal que 0<|x-4|<\delta \Rightarrow|f(x)-8|<0,27.

Passo 1

O enunciado nos dá que a função é f(x)=3x-4 e que
\lim_{x\to 4} (3x-4)=8.
O que pedem: para \varepsilon=0,27 encontrar um \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-4|<\delta, então
|f(x)-8|<0,27.
Resumo das informações relevantes:
  • Ponto de interesse: x_0=4.
  • Valor do limite: L=8.
  • Função: f(x)=3x-4.
  • Desejamos \delta em função de \varepsilon=0,27 que garanta a desigualdade acima.

Passo 2

Lembrete didático da definição \varepsilon- \delta de limite (explicado devagar): dizer que \lim_{x\to a} f(x)=L significa que, para todo \varepsilon>0 dado, existe um \delta>0 tal que sempre que 0<|x-a|<\delta então |f(x)-L|<\varepsilon.
O que cada símbolo significa:
  • \varepsilon é a tolerância no valor da função (quão perto de L queremos que f(x) fique).
  • \delta é a tolerância na variável x (quão perto de a precisamos tomar x para garantir a condição sobre f(x)).
    Na prática, para cada \varepsilon calculamos (ou estimamos) um \delta que funciona.

Passo 3

Vamos manipular |f(x)-8| algebraicamente para ligá-lo a |x-4|. Começamos substituindo f(x)=3x-4:
|f(x)-8| = |3x-4-8|.
Simplificando dentro do módulo:
|3x-4-8| = |3x-12|.
Agora usamos a propriedade do valor absoluto |ab|=|a||b| e fatoramos 3:
|3x-12| = |3||x-4| = 3|x-4|.
Portanto a diferença entre f(x) e 8 é exatamente 3|x-4|.

Passo 4

Queremos garantir |f(x)-8|<\varepsilon. Usando a expressão que achamos:
|f(x)-8| = 3|x-4| < \varepsilon.
Isto é equivalente a
|x-4| < \frac{\varepsilon}{3}.
Logo, qualquer \delta que satisfaça \delta \le \dfrac{\varepsilon}{3} funciona — na prática a escolha natural e direta é
\delta = \frac{\varepsilon}{3}.
Explicação rápida do porquê: se |x-4|<\delta e \delta=\dfrac{\varepsilon}{3}, então
|f(x)-8| = 3|x-4| < 3\delta = 3\cdot\frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon,
que é exatamente o que se pede.

Passo 5

Agora aplicamos o valor numérico \varepsilon=0,27. Usando a fórmula \delta=\dfrac{\varepsilon}{3}:
\delta = \frac{0,27}{3} = 0,09.
Verificação rápida: se 0<|x-4|<0,09 então
|f(x)-8| = 3|x-4| < 3\cdot 0,09 = 0,27,
como queríamos. Assim \delta=0,09 funciona. Pode-se também escolher qualquer \delta menor que 0,09 (por exemplo 0,05) e ainda funcionaria — mas a escolha mais direta é 0,09.

Passo 6

Resumo final e incentivo: a ideia é sempre tentar escrever |f(x)-L| em função de |x-a|. Para funções lineares isso costuma ser imediato (fatorando a inclinação). Em provas, basta mostrar essa manipulação e apresentar \delta em função de \varepsilon. Você mandou bem vindo até aqui — repetir esse procedimento em outros exercícios vai te deixar confiante rapidinho!

Resposta

\delta=0,09

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