Estabelecer as equações reduzidas da reta r que passa pelos pontos A(2,1,-3) e B(4,0,-2).

Passo 1

Então, temos um exercício de geometria no espaço tridimensional. A questão pede para encontrar as equações reduzidas da reta r que passa pelos pontos A(2,1,-3) e B(4,0,-2) . Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar a equação de uma reta no espaço usando dois pontos. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos A e B com suas coordenadas:
  • A(2, 1, -3)
  • B(4, 0, -2)
Para encontrar a equação da reta que passa por esses dois pontos, precisamos determinar um vetor diretor da reta. Esse vetor diretor é simplesmente a diferença das coordenadas dos pontos B e A .

Passo 3

Vamos calcular o vetor diretor d :
d = B - A = (4-2, 0-1, -2 - (-3)) = (2, -1, 1)
Então, o vetor diretor é d = (2, -1, 1) .

Passo 4

Agora, usamos as coordenadas de um dos pontos, digamos A(2, 1, -3) , e o vetor diretor d = (2, -1, 1) para montar as equações paramétricas da reta. As equações paramétricas são dadas por:
x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct
Onde (x0, y0, z0) são as coordenadas do ponto A e (a, b, c) são as componentes do vetor diretor d .

Passo 5

Substituindo os valores:
x = 2 + 2t
y = 1 - t
z = -3 + t
Essas são as equações paramétricas da reta r .

Passo 6

Para encontrar as equações reduzidas da reta, podemos escrever cada coordenada em função de t e eliminar o parâmetro t . Assim, temos:
t = x - 22 = 1 - y = z + 3
Portanto, as equações reduzidas da reta r são:
x - 22 = 1 - y = z + 3

Resposta

As equações reduzidas da reta r que passa pelos pontos A(2,1,-3) e B(4,0,-2) são:
x - 22 = 1 - y = z + 3

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