2.1 Estabelecer a expressão matemática da relação entre o tempo percorrido (t) em queda livre de um corpo no vácuo, sujeito à gravidade ( g ), a uma altura ( h ), utilizando o princípio da homogeneidade dimensional.

Passo 1

O enunciado pede para estabelecer uma expressão matemática que relacione o tempo de queda t de um corpo em queda livre no vácuo, a altura inicial h de onde ele cai e a aceleração da gravidade g, usando o princípio da homogeneidade dimensional.
Informações fornecidas:
  • A variável que queremos é o tempo de queda: t.
  • As grandezas que influenciam a queda (segundo o enunciado) são a altura h e a aceleração da gravidade g.
  • Não há menção a arrasto do ar (o enunciado diz “vácuo”), nem a velocidade inicial, então assumimos que a queda é sob aceleração gravitacional única g e que a dependência buscada envolve apenas t, h e g.
O que exatamente é pedido:
  • Determinar, via homogeneidade dimensional, a forma funcional de t em termos de h e g (ou seja, como t depende de h e g por análise de dimensões).

Passo 2

Explicando o método (princípio da homogeneidade dimensional) de forma bem simples: qualquer equação física correta deve ser dimensionalmente consistente — os dois lados da igualdade devem ter as mesmas dimensões (unidades fundamentais). Pela análise dimensional, supomos uma relação do tipo potência entre as grandezas.
Assumimos uma forma geral (com um fator adimensional desconhecido) para t:
t = C\,h^{\,a}\,g^{\,b},
onde:
  • C é um número adimensional (constante sem dimensão) que a análise dimensional não determina;
  • a e b são expoentes reais que vamos encontrar pela igualdade de dimensões.
Agora vamos identificar as dimensões de cada grandeza:
  • A dimensão de t é tempo: [t] = T.
  • A dimensão de h (altura) é comprimento: [h] = L.
  • A dimensão de g (aceleração) é comprimento por tempo ao quadrado: [g] = L\,T^{-2}.

Passo 3

Escrever a dimensão do lado direito da suposição t = C\,h^{a}g^{b}.
A dimensão do lado direito é
[h^{a} g^{b}] = L^{a}\,(L\,T^{-2})^{b} = L^{a+b}\,T^{-2b}.
Como o lado esquerdo tem dimensão T, devemos ter igualdade de dimensões:
T = L^{a+b}\,T^{-2b}.
Isto impõe um sistema para os expoentes das dimensões L e T:
  • Exponente de L: 0 = a + b.
  • Exponente de T: 1 = -2b.
Resolva o sistema passo a passo:
Da segunda equação,
-2b = 1 \quad\Rightarrow\quad b = -\tfrac{1}{2}.
Da primeira equação,
a + b = 0 \quad\Rightarrow\quad a = -b = \tfrac{1}{2}.

Passo 4

Interpretando os expoentes encontrados: a = \tfrac{1}{2} e b = -\tfrac{1}{2}.
Substituindo esses valores na forma assumida t = C\,h^{a}g^{b}, obtém-se (a forma funcional, ainda com a constante adimensional C indeterminada):
t = C\,h^{1/2}\,g^{-1/2}.
Escrever de forma mais familiar:
t = C\sqrt{\dfrac{h}{g}}.
Observação importante (didática): a homogeneidade dimensional fornece a dependência entre as grandezas e os expoentes das potências, mas não determina a constante adimensional C. Para obter C é preciso recorrer à física adicional do problema (equações do movimento).

Passo 5

Determinar a constante C usando as equações do movimento (isto é além da análise dimensional, mas útil para obter a expressão completa quando se sabe a situação inicial).
Se o corpo parte do repouso e sofre aceleração constante g ao longo de distância h, a equação do movimento (cinemática para movimento uniformemente acelerado) é
h = \tfrac{1}{2}\,g\,t^{2}.
Isolando t:
t^{2} = \dfrac{2h}{g}, \qquad t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}.
Comparando com a forma t = C\sqrt{\dfrac{h}{g}}, conclui-se que, para queda a partir do repouso, C = \sqrt{2}.

Passo 6

Resumo prático e verificação dimensional rápida:
  • A expressão obtida por homogeneidade é t = C\sqrt{h/g}. Conferir dimensões: dentro da raiz temos \dfrac{L}{L\,T^{-2}}=T^{2}, raiz dá T, e C é adimensional — consistente.
  • Para queda livre a partir do repouso, o resultado físico completo é t = \sqrt{2h/g}.
Dica final amiga: na prova, quando pedirem por homogeneidade dimensional, sempre escreva a forma potência t = C\,h^{a}g^{b}, escreva as dimensões, iguale expoentes e resolva o sistema linear — é rápido e seguro. Se te pedirem o fator numérico, aí sim use a equação de movimento (ou informações iniciais).

Resposta

t = C\sqrt{\dfrac{h}{g}}
t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}

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