( 3,4 pontos) ( 3,4 pontos) Uma parede é composta por duas camadas de condutividades diferentes k_{1}=0,450 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} e k_{2}=0,120 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}. As espessuras são L_{1}=8,52 \mathrm{~cm} e L_{2}=12,21 \mathrm{~cm}. Sabe-se que a temperatura na parte fria (próximo à parede limitante do segundo material) vale T_{p}=0,000^{\circ} \mathrm{C} e a da face quente vale T_{0}=89,0,0^{\circ} \mathrm{C}. Qual a temperatura no ponto intermediário que faz contato entre as duas camadas no regime estacionário?

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a temperatura no ponto intermédio (a interface entre as duas camadas) no regime estacionário.
Dados fornecidos:
  • Condutividades térmicas: k_{1}=0{,}450\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\,^\circ\mathrm{C} e k_{2}=0{,}120\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\,^\circ\mathrm{C}.
  • Espessuras: L_{1}=8{,}52\\ \mathrm{cm} e L_{2}=12{,}21\\ \mathrm{cm}.
  • Temperatura da face quente: T_{0}=89{,}00^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura da face fria: T_{p}=0{,}000^\circ\mathrm{C}.
O objetivo é calcular a temperatura na interface entre as duas camadas (chamarei essa temperatura de T_{i}).

Passo 2

Conceito físico e fórmula que vamos usar (aula curta e prática).
  • Em regime estacionário sem geração de calor e em condução unidimensional, a mesma taxa de calor por área q atravessa ambas as camadas.
  • Para uma camada homogênea com área A, condutividade k e espessura L, a queda de temperatura através da camada é dada por
\Delta T = q\,\frac{L}{kA}.
  • Define-se a resistência térmica da camada como
R=\frac{L}{kA}.
  • Para duas camadas em série a mesma q atravessa as duas, e a diferença total de temperatura é a soma das quedas:
T_{0}-T_{p}=q\,(R_{1}+R_{2}).
  • Assim, a densidade de fluxo de calor é
q=\frac{T_{0}-T_{p}}{R_{1}+R_{2}}.
  • A temperatura na interface, medida a partir da face quente, é
T_{i}=T_{0}-q\,R_{1}.
(Aqui R_{1}=\dfrac{L_{1}}{k_{1}A} e R_{2}=\dfrac{L_{2}}{k_{2}A}.)
Explicando as variáveis:
  • q é a taxa de calor por unidade de área ( \mathrm{W}/\mathrm{m}^2);
  • A é a área transversal (vai cancelar se escolhermos qualquer valor);
  • R_1,R_2 são as resistências térmicas das camadas 1 e 2.
Dica prática: podemos escolher A=1\\ \mathrm{m}^2 para calcular R_1,R_2 e q, porque a área comum cancela na razão.

Passo 3

Preparar os números e calcular as resistências.
  • Converter espessuras para metros:
L_{1}=8{,}52\\ \mathrm{cm}=0{,}0852\\ \mathrm{m},\qquad L_{2}=12{,}21\\ \mathrm{cm}=0{,}1221\\ \mathrm{m}.
  • Tomando A=1\\ \mathrm{m}^2, as resistências são
R_{1}=\frac{L_{1}}{k_{1}A}=\frac{0{,}0852}{0{,}450}=0{,}189333\ldots
R_{2}=\frac{L_{2}}{k_{2}A}=\frac{0{,}1221}{0{,}120}=1{,}0175.
  • Soma das resistências:
R_{1}+R_{2}=0{,}189333\ldots + 1{,}0175 = 1{,}206833\ldots

Passo 4

Calcular o fluxo de calor por unidade de área q.
  • A diferença de temperatura total é (T_{0}-T_{p})=89{,}00-0{,}000=89{,}00\\ \mathrm{K}.
  • Logo
q=\frac{T_{0}-T_{p}}{R_{1}+R_{2}}=\frac{89{,}00}{1{,}206833\ldots}\approx 73{,}747\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.

Passo 5

Calcular a temperatura na interface T_{i}.
  • Usando T_{i}=T_{0}-q\,R_{1}:
T_{i}=89{,}00 - (73{,}747)\times 0{,}189333\ldots
  • Fazendo a conta (ou usando a fórmula direta com resistências):
T_{i}\approx 75{,}037\\ ^\circ\mathrm{C}.
(Verificação alternativa rápida: também vale T_{i}=T_{p}+(T_{0}-T_{p})\dfrac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}. Substituindo dá o mesmo resultado numérico.)

Passo 6

Interpretação e incentivo rápido: isso significa que, porque a segunda camada é muito menos condutiva ( k_2 menor), a maior parte da queda de temperatura ocorre nela; a interface fica bastante próxima à temperatura da face quente (cerca de 75^\circ\mathrm{C}). Vai dar tudo certo na prova — pratique mais um ou dois exemplos desses e fica automático!

Resposta

T_{i}=75{,}04^\circ\mathrm{C}

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