2.7 Uma tubulação de 500 mm de diâmetro, assentada com uma inclinação de 1 \% ao longo de 1 km do seu comprimento, transporta 250 \mathrm{l} / \mathrm{s}. Sabendo-se que a pressão ao longo da tubulação é constante, determinar a perda de carga neste trecho.

Passo 1

O que o exercício pede e o que é dado.
  • Pergunta: determinar a perda de carga ao longo do trecho de tubulação.
  • Dados fornecidos:
    • Diâmetro da tubulação: D=500\\ \text{mm}=0,50\\ \text{m}.
    • Inclinação (declive) da tubulação: 1\% ao longo do comprimento.
    • Comprimento do trecho: L=1\\ \text{km}=1000\\ \text{m}.
    • Vazão volumétrica: Q=250\\ \text{l/s}=0{,}250\\ \text{m}^3/\text{s}.
    • Informação importante: a pressão ao longo da tubulação é constante (ou seja, p_1=p_2 nas seções inicial e final consideradas).
  • Objetivo claro: encontrar a perda de carga (normalmente expressa em metros de coluna de água, \text{m} de água) ao longo deste trecho.

Passo 2

Converter unidades e calcular velocidade média no tubo (isso ajuda a entender o que cancela na equação de energia).
  • Área da secção transversal da tubulação:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}
Substituindo D=0{,}50\\ \text{m}:
A=\frac{\pi (0{,}50)^{2}}{4}=\pi\cdot 0{,}0625\approx 0{,}19635\\ \text{m}^{2}.
  • Velocidade média do fluido:
v=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}250}{0{,}19635}\approx 1{,}273\\ \text{m/s}.
Observação: a velocidade é a mesma nas duas seções (mesmo diâmetro, regime estacionário), portanto a energia cinética por unidade de peso é igual nas duas seções e vai cancelar na aplicação do balanço de energia.

Passo 3

Apresentar a fórmula de energia (Bernoulli estendida com perda de carga) e explicar variáveis.
A forma útil da equação de energia entre duas seções 1 e 2 é:
\frac{p_1}{\gamma}+\frac{v_1^{2}}{2g}+z_1=\frac{p_2}{\gamma}+\frac{v_2^{2}}{2g}+z_2+h_f,
onde:
  • p é a pressão (Pa),
  • \gamma=\rho g é o peso específico do fluido ( \rho massa específica, g aceleração da gravidade),
  • v é a velocidade média (m/s),
  • z é a cota geométrica (m),
  • h_f é a perda de carga por unidade de peso (m).
    Explicando: o termo \dfrac{p}{\gamma} é a “carga de pressão” em metros de fluido, \dfrac{v^2}{2g} é a “carga cinemática” e z é a “carga potencial” (altitude). A perda h_f representa a energia por unidade de peso dissipado por atrito e outros efeitos.

Passo 4

Simplificar a equação usando as condições do enunciado.
  • Pelo enunciado p_1=p_2 (pressão constante) e, como o diâmetro é o mesmo e a vazão é estacionária, v_1=v_2. Portanto os termos de pressão e velocidade cancelam quando subtrair um lado do outro. Restará:
h_f = z_1 - z_2.
Isto significa que a perda de carga ao longo do trecho é igual à diferença de cota entre as seções inicial e final.

Passo 5

Calcular a diferença de cota (elevação) a partir da inclinação e do comprimento.
  • Inclinação de 1\% significa que a queda é 0{,}01 vezes o comprimento.
  • Portanto a diferença de cota é:
z_1 - z_2 = (\text{slope})\times L = 0{,}01\times 1000\\ \text{m}=10\\ \text{m}.
Logo:
h_f = 10\\ \text{m}.
Explicação intuitiva: como a pressão (carga de pressão) e a carga cinética são iguais nas duas seções, a energia potencial perdida pela queda de 10 m é exatamente a energia dissipada por atrito — por isso a perda de carga é 10\\ \text{m}.

Passo 6

Converter a perda de carga para uma grandeza equivalente em pressão (opcional, para sentir a ordem de grandeza).
  • Usando \Delta p_{\text{equiv}}=\rho g h_f. Com \rho\approx1000\\ \text{kg/m}^3 e g\approx9{,}81\\ \text{m/s}^2:
\Delta p_{\text{equiv}}=1000\cdot 9{,}81\cdot 10 \approx 9{,}81\times 10^{4}\\ \text{Pa}\approx 98{,}1\\ \text{kPa}.
Observação: isso é o equivalente em pressão da perda de carga; no enunciado foi dito que a pressão ao longo do tubo é constante (portanto a diferença medida de pressão entre seções é nula), mas a energia dissipada por atrito corresponde a essa “carga” perdida de 10\\ \text{m}, que equivale a cerca de 98{,}1\\ \text{kPa} em termos de pressão.

Resposta

h_f=10\\ \text{m}
\Delta p_{\text{equiv}}=\rho g h_f\approx 9{,}81\times10^{4}\\ \text{Pa}

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