Uma estação de rádio transmite em uma frequência de 1 \mathrm{MHz}\left(10^{6} \mathrm{~Hz}\right) com uma potência radiada total de 5000 W .
a)Qual o comprimento de onda da radiação?
b) Qual a energia de cada fóton individual sendo emitido?
c) Quantos fótons são emitidos por segundo?
d) A antena de um aparelho de rádio deve receber pelo menos 2 \mu \mathrm{~W}\left(2 \times 10^{-6} \mathrm{~W}\right) de potência para conseguir funcionar corretamente. Qual o número mínimo de fótons a antena deve receber por segundo em uma frequência de 1 MHz ?
e) Os resultados das partes c) e d) indicam que o fenômeno de transmissão e recepção de rádio deve considerar a radiação como ondas ou partículas? Justifique.Resposta: (a) 300 m ; (b) \mathrm{E}=6,6.10^{-28} \mathrm{~J}; (c) 7,5 \times 10^{30} fotons/s; d) 3 \times 10^{21} fotons / \mathrm{s};

Passo 1

O enunciado dá uma estação de rádio com frequência de transmissão e potência totais e faz cinco perguntas (a)–(e). Vou listar claramente o que é pedido e as informações fornecidas:
  • Perguntas:
    (a) Qual o comprimento de onda da radiação?
    (b) Qual a energia de cada fóton individual sendo emitido?
    (c) Quantos fótons são emitidos por segundo pela estação?
    (d) Quantos fótons por segundo a antena deve receber como mínimo para obter 2\\ \mu\mathrm{W} a 1\\ \mathrm{MHz}?
    (e) Com base nos resultados anteriores: devemos tratar o fenômeno como onda ou como partícula? Justifique.
  • Dados relevantes do enunciado:
    \text{frequência: } f = 1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}ê
\text{potência radiada total: } P = 5000\\ \mathrm{W}ê
\text{potência mínima recebida pela antena: } P_{\min} = 2{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{W}êí
Aqui terminei de listar o que o enunciado dá e o que ele pede. A resolução numérica começa no Passo 2.

Passo 2

Vamos calcular o comprimento de onda. Fórmula usada e significado das variáveis:
  • A relação entre velocidade da luz, frequência e comprimento de onda é
    \lambda = \frac{c}{f},
    onde \lambda é o comprimento de onda (em metros), c é a velocidade da luz no vácuo (em metros por segundo) e f é a frequência (em hertz).
  • Valor que usaremos para a velocidade da luz:
    c = 3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Explicação curta: essa fórmula vem da definição de onda harmônica: em um segundo a crista viaja uma distância c, fazendo f oscilações; cada oscilação corresponde a uma onda de comprimento \lambda, logo c = \lambda f.

Passo 3

Cálculo numérico do comprimento de onda:
\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}}{1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}} = 3{,}00\times10^{2}\\ \mathrm{m} = 300\\ \mathrm{m}.
Portanto, o comprimento de onda é \lambda = 300\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Agora vamos achar a energia de cada fóton. Fórmula usada e significado das variáveis:
  • Energia de um fóton é dada por
    E = h f,
    onde E é a energia do fóton (em joules), h é a constante de Planck (em joule-segundo) e f é a frequência (em hertz).
  • Valor da constante de Planck que usaremos:
    h = 6{,}626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.
Explicação curta: a teoria quântica diz que a energia associada a uma onda eletromagnética de frequência f vem em “pacotes” discretos chamados fótons, cada um com energia hf.

Passo 5

Cálculo numérico da energia do fóton:
E = h f = (6{,}626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s})\times(1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}) = 6{,}626\times10^{-28}\\ \mathrm{J}.
Arredondando para duas casas significativas (e combinando com o enunciado), podemos escrever E \approx 6{,}6\times10^{-28}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Relação entre potência e número de fótons por segundo. Explicação didática:
  • Potência P é energia por segundo: P = \dfrac{\Delta E}{\Delta t}.
  • Se cada fóton tem energia E e a fonte emite \dot{N} fótons por segundo, a energia por segundo é E\dot{N}. Portanto P = E\,\dot{N} \quad\Rightarrow\quad \dot{N} = \frac{P}{E}.
  • Aqui \dot{N} é o número de fótons emitidos por segundo (unidade: fótons/s).
Isso é natural: a potência dividida pela energia por fóton dá quantos fótons por segundo são necessários para entregar essa potência.

Passo 7

Cálculo do número de fótons por segundo emitidos pela estação (parte c):
Usando \dot{N} = P/E com P=5000\\ \mathrm{W} e E=6{,}626\times10^{-28}\\ \mathrm{J}:
\dot{N} = \frac{5000\\ \mathrm{J/s}}{6{,}626\times10^{-28}\\ \mathrm{J}} = \frac{5000}{6{,}626}\times10^{28} \approx 7{,}54\times10^{30}\\ \text{fótons/s}.ó
Arredondando para duas casas significativas fica \dot{N}\approx 7{,}5\times10^{30}\\ \text{fótons/s}ó.

Passo 8

Cálculo do número mínimo de fótons por segundo que a antena deve receber para ter P_{\min}=2{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{W} (parte d):
Usando \dot{N}_{\min} = P_{\min}/E com E=6{,}626\times10^{-28}\\ \mathrm{J}:
\dot{N}_{\min} = \frac{2{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{J/s}}{6{,}626\times10^{-28}\\ \mathrm{J}} \approx 3{,}02\times10^{21}\\ \text{fótons/s}.ó
Arredondando para duas casas significativas: \dot{N}_{\min}\approx 3{,}0\times10^{21}\\ \text{fótons/s}ó.

Passo 9

Interpretação física — onda ou partícula? (parte e)
  • Observação numérica: cada fóton de rádio tem energia extremamente pequena ( \sim 10^{-28}\\ \mathrm{J}), de modo que uma potência macroscópica (por exemplo 5000\\ \mathrm{W} ou mesmo 2\\ \mu\mathrm{W}) corresponde a um número gigantesco de fótons por segundo (ordens de 10^{30} ou 10^{21}).
  • Consequência prática: os efeitos clássicos (campo elétrico e magnético variando no tempo) descrevem com excelência como uma antena transmite e recebe sinais de rádio. A antena responde ao campo eletromagnético contínuo (ondas), não a fótons individuais, porque as flutuações discretas associadas a fótons são negligenciáveis diante de um fluxo tão grande.
  • Contudo, isso não nega a existência de fótons — a luz/radiação tem natureza dual. Em frequências muito baixas (rádio) a descrição quântica em termos de fótons é correta, mas não é prática: o comportamento macroscópico é bem descrito pelas ondas clássicas de Maxwell.
  • Portanto: para o projeto e descrição da transmissão/recepção de rádio (problemas de antena, circuito, propagação), devemos tratar a radiação como onda (modelo clássico) porque a energia por fóton é tão pequena que o processo envolve enorme número de fótons, tornando a descrição ondulatória suficiente e mais útil. Se estivéssemos estudando efeitos de interação que dependem da quantização em nível individual (ex.: detectores de fótons únicos), aí sim o caráter corpuscular seria essencial — mas não é o caso prático do rádio.

Resposta

(a) 300\\ \mathrm{m}
(b) E = 6{,}6\times10^{-28}\\ \mathrm{J}
(c) 7{,}5\times10^{30}\\ \text{fótons/s}ó
(d) 3{,}0\times10^{21}\\ \text{fótons/s}ó
(e) Deve-se considerar principalmente como ondas para a transmissão e recepção de rádio, porque a energia por fóton é extremamente pequena e os números de fótons envolvidos são gigantescos, tornando o modelo clássico de ondas o mais prático.

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