Um aparelho de raio X funciona com uma tensão de 95 kV para aceleração dos elétrons emitidos por um cátodo. Suponha que os elétrons são emitidos com energia cinética inicial desprezível. Determine o comprimento de onda mínimo dos raios X produzidos por esse aparelho. Justifique sua resposta explicando como se dá a produção de raios X. Resposta:
Passo 1
Enunciado e dados importantes: o aparelho de raios X acelera elétrons com uma tensão de
. Os elétrons são emitidos com energia cinética inicial desprezível. O que se pede: determinar o comprimento de onda mínimo dos raios X produzidos por esse aparelho e justificar como se dá a produção de raios X. Dados listados explicitamente:
Energia cinética inicial dos elétrons desprezível. Pedir o comprimento de onda mínimo
.
Passo 2
Explicação física (como se dá a produção de raios X), de modo simples e direto:
- Elétrons saem do cátodo e são acelerados pela diferença de potencial
até colidirem com o alvo (ânodo). - Ao interagir com os átomos do alvo, os elétrons sofrem decelerações bruscas: parte da energia cinética é convertida em fótons de alta energia — isso gera o espectro contínuo chamado de radiação de freio (Bremsstrahlung).
- Além desse contínuo, há também linhas características quando elétrons arrancam elétrons internos do alvo e outros elétrons caem para preencher as lacunas; mas essas linhas têm comprimentos de onda discretos.
- O comprimento de onda mínimo do espectro contínuo corresponde ao fóton de máxima energia possível: ocorre quando um elétron transfere toda sua energia cinética adquirida pela aceleração para um único fóton. Portanto, para achar
basta igualar a energia máxima do elétron à energia do fóton.
Passo 3
Energia adquirida pelo elétron ao ser acelerado:
A energia cinética máxima (em joules) que um elétron ganha ao ser acelerado por uma diferença de potencial é
A energia cinética máxima (em joules) que um elétron ganha ao ser acelerado por uma diferença de potencial
onde
é a carga elementar do elétron (
em coulombs) e
em volts. Em unidades de elétron-volt (eV), essa energia é simplesmente
(por exemplo,
quando
). Lembrete didático:
é a energia que uma carga elementar ganha ao atravessar
, ou seja
.
Passo 4
Relação entre energia do fóton e comprimento de onda:
A energia de um fóton está dada por
A energia de um fóton está dada por
onde
é a constante de Planck (
) e
é a velocidade da luz no vácuo. Aqui
tem unidades de
,
tem unidades de
, e
ficará em metros se usarmos essas unidades. Explicando as letras:
-
: constante de Planck, mede a quantização da energia dos fótons. -
: velocidade da luz, controla a relação entre frequência e comprimento de onda. -
: comprimento de onda do fóton (o que queremos encontrar).
Passo 5
Determinação da expressão para
:
Para o fóton de máxima energia igualamos à energia máxima do elétron
:
Para o fóton de máxima energia igualamos
Isolando
obtemos
Aqui cada símbolo já foi definido:
,
,
,
.
Passo 6
Cálculo numérico passo a passo. Usamos a forma prática conhecida
(isso vem de
e
nas unidades apropriadas; é uma constante muito usada em física de fótons). Assim,
Aqui
em eV é numericamente igual à diferença de potencial em volts, portanto
. Substituindo:
Convertendo para ångströms (lembre:
):
Arredondando de forma razoável para duas casas significativas (o dado
tem dois algarismos significativos),
Passo 7
Interpretação final e verificação rápida:
- Esse valor corresponde ao limite de corte do espectro contínuo de Bremsstrahlung; comprimentos de onda maiores (menos energia) aparecem com intensidade variada e linhas características podem surgir em comprimentos de onda específicos.
- O resultado numérico coincide com a resposta fornecida.