Um aparelho de raio X funciona com uma tensão de 95 kV para aceleração dos elétrons emitidos por um cátodo. Suponha que os elétrons são emitidos com energia cinética inicial desprezível. Determine o comprimento de onda mínimo dos raios X produzidos por esse aparelho. Justifique sua resposta explicando como se dá a produção de raios X. Resposta: 0,13 \stackrel{o}{A}

Passo 1

Enunciado e dados importantes: o aparelho de raios X acelera elétrons com uma tensão de 95\\ \text{kV}. Os elétrons são emitidos com energia cinética inicial desprezível. O que se pede: determinar o comprimento de onda mínimo dos raios X produzidos por esse aparelho e justificar como se dá a produção de raios X. Dados listados explicitamente:
V = 95\\ \text{kV} = 95\\\ 000\\ \text{V}
Energia cinética inicial dos elétrons desprezível. Pedir o comprimento de onda mínimo \lambda_{\min}.

Passo 2

Explicação física (como se dá a produção de raios X), de modo simples e direto:
  • Elétrons saem do cátodo e são acelerados pela diferença de potencial V até colidirem com o alvo (ânodo).
  • Ao interagir com os átomos do alvo, os elétrons sofrem decelerações bruscas: parte da energia cinética é convertida em fótons de alta energia — isso gera o espectro contínuo chamado de radiação de freio (Bremsstrahlung).
  • Além desse contínuo, há também linhas características quando elétrons arrancam elétrons internos do alvo e outros elétrons caem para preencher as lacunas; mas essas linhas têm comprimentos de onda discretos.
  • O comprimento de onda mínimo do espectro contínuo corresponde ao fóton de máxima energia possível: ocorre quando um elétron transfere toda sua energia cinética adquirida pela aceleração para um único fóton. Portanto, para achar \lambda_{\min} basta igualar a energia máxima do elétron à energia do fóton.

Passo 3

Energia adquirida pelo elétron ao ser acelerado:
A energia cinética máxima (em joules) que um elétron ganha ao ser acelerado por uma diferença de potencial V é
E_{\text{el}} = eV,
onde e é a carga elementar do elétron ( e em coulombs) e V em volts. Em unidades de elétron-volt (eV), essa energia é simplesmente V (por exemplo, 95\\\ 000\\ \text{eV} quando V=95\\\ 000\\ \text{V}). Lembrete didático: 1\\ \text{eV} é a energia que uma carga elementar ganha ao atravessar 1\\ \text{V}, ou seja 1\\ \text{eV}=1,602176634\times 10^{-19}\\ \text{J}.

Passo 4

Relação entre energia do fóton e comprimento de onda:
A energia de um fóton está dada por
E_{\text{fóton}} = \frac{hc}{\lambda},ó
onde h é a constante de Planck ( h) e c é a velocidade da luz no vácuo. Aqui h tem unidades de \text{J}\cdot\text{s}, c tem unidades de \text{m/s}, e \lambda ficará em metros se usarmos essas unidades. Explicando as letras:
  • h: constante de Planck, mede a quantização da energia dos fótons.
  • c: velocidade da luz, controla a relação entre frequência e comprimento de onda.
  • \lambda: comprimento de onda do fóton (o que queremos encontrar).

Passo 5

Determinação da expressão para \lambda_{\min}:
Para o fóton de máxima energia igualamos E_{\text{fóton}}ó à energia máxima do elétron eV:
eV = \frac{hc}{\lambda_{\min}}.
Isolando \lambda_{\min} obtemos
\lambda_{\min}=\frac{hc}{eV}.
Aqui cada símbolo já foi definido: h, c, e, V.

Passo 6

Cálculo numérico passo a passo. Usamos a forma prática conhecida hc \approx 1240\\ \text{eV}\cdot\text{nm} (isso vem de h e c nas unidades apropriadas; é uma constante muito usada em física de fótons). Assim,
\lambda_{\min}\\ (\text{em nm})=\frac{1240\\ \text{eV}\cdot\text{nm}}{V\\ (\text{em eV})}.
Aqui V em eV é numericamente igual à diferença de potencial em volts, portanto V=95\\\ 000\\ \text{eV}. Substituindo:
\lambda_{\min}=\frac{1240}{95\\\ 000}\\ \text{nm}=0,0130526\\ \text{nm}.
Convertendo para ångströms (lembre: 1\\ \text{nm}=10\\ \text{\AA}):
\lambda_{\min}=0,0130526\\ \text{nm}\times 10 = 0,130526\\ \text{\AA}.
Arredondando de forma razoável para duas casas significativas (o dado 95\\ \text{kV} tem dois algarismos significativos),
\lambda_{\min}\approx 0,13\\ \text{\AA}.

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida:
  • Esse valor corresponde ao limite de corte do espectro contínuo de Bremsstrahlung; comprimentos de onda maiores (menos energia) aparecem com intensidade variada e linhas características podem surgir em comprimentos de onda específicos.
  • O resultado numérico coincide com a resposta fornecida.

Resposta

0,13\\ \text{\AA}

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