Uma roda gira com aceleração angular dada por:
, onde a e b são
Lista 4 problema 14 constantes. Se a roda tiver velocidade angular inicial
, escreva as equações para (a) velocidade angular e (b) o ângulo deserito como funções do tempo.
Complemento:
Se a roda que tem raio
, parte do repouso (
), e os valores das constantes são
, e
, calcule o número de revoluções e a velocidade linear para
.
Lista 4 problema 14 constantes. Se a roda tiver velocidade angular inicial
Se a roda que tem raio
Passo 1
O enunciado pede duas coisas principais e dá informações que vamos usar. Vou listar claramente.
-
Perguntas do enunciado:
- Escrever a velocidade angular como função do tempo.
- Escrever o ângulo (a posição angular, ou “ângulo descrito”) como função do tempo.
- Complemento numérico: para uma roda de raio
, partindo do repouso em , com e , calcular o número de revoluções e a velocidade linear em .
-
Dados fornecidos:
- A aceleração angular é
. - A velocidade angular inicial é
(no complemento numérico a roda parte do repouso, então ). - Constantes numéricas do complemento:
, . - Raio da roda:
. - Tempo de interesse no complemento:
.
- A aceleração angular é
Passo 2
Entendendo as relações fundamentais entre aceleração angular, velocidade angular e ângulo (aula rápida e prática).
- Definição de aceleração angular:
é a taxa de variação da velocidade angular com o tempo. Em fórmulas,
Aqui
é a velocidade angular em rad/s e
tem unidade rad/s
.
- Para obter a velocidade angular a partir da aceleração angular devemos integrar no tempo. Se tomarmos a condição inicial
, a expressão geral é
Explico: a integral acumula a variação da velocidade desde
até
; o
é só uma variável de integração.
Passo 3
Integração da aceleração dada para obter
.
- Substituindo
na integral:
-
Integramos termo a termo. Lembre que
. -
. -
.
-
-
Assim, a velocidade angular como função do tempo é
Expliquei cada termo:
vem da integração de
e
vem da integração de
. O
é a constante de integração fixada pela condição inicial.
Passo 4
Relação entre velocidade angular e ângulo; integração para obter
.
- Definição: a velocidade angular é a derivada do ângulo em relação ao tempo,
onde
é a posição angular em radianos. Para obter
integramos
.
- Com condição inicial
(se nada for dito podemos tomar ), temos
-
Substituindo
e integrando termo a termo: -
. -
. -
.
-
-
Portanto, a posição angular é
Dica prática para a prova: escreva sempre cada termo separado e integre com a regra
; coloque a condição inicial para achar a constante de integração.
Passo 5
Aplicando os valores numéricos do complemento:
,
,
,
,
.
- Primeiro calcule
usando a fórmula com e :
Substituindo
e
:
Calcule passo a passo:
-
rad. -
rad.
Logo
- Número de revoluções em
: como uma volta tem rad, o número de voltas é :
(Usei
.)
Passo 6
Calcule a velocidade angular em
e então a velocidade linear.
- Usando
com :
Substituindo
e
:
- A velocidade linear na borda da roda é dada por
. Com :
Interpretação física rápida: em
a roda gira cerca de
voltas e sua borda está se deslocando a
(valor alto porque as constantes foram escolhidas numericamente).
Resposta
(a)
\n
(b) \n
Número de revoluções em :
voltas\n
Velocidade linear em :
(b)
Número de revoluções em
Velocidade linear em