Uma roda gira com aceleração angular dada por: \alpha=4 a t^{3}-3 b t^{2}, onde a e b são
Lista 4 problema 14 constantes. Se a roda tiver velocidade angular inicial \omega_{o}, escreva as equações para (a) velocidade angular e (b) o ângulo deserito como funções do tempo.
Complemento:
Se a roda que tem raio =2 \mathrm{~m}, parte do repouso ( \mathrm{t}=0 ), e os valores das constantes são a=10^{-2} \mathrm{rad} . \mathrm{s}^{-5}, e b=5 \times 10^{-2} \mathrm{rad} . \mathrm{s}^{-4}, calcule o número de revoluções e a velocidade linear para \mathrm{t}=10 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais e dá informações que vamos usar. Vou listar claramente.
  • Perguntas do enunciado:
    1. Escrever a velocidade angular como função do tempo.
    2. Escrever o ângulo (a posição angular, ou “ângulo descrito”) como função do tempo.
    3. Complemento numérico: para uma roda de raio 2\\ \mathrm{m}, partindo do repouso em t=0, com a=10^{-2}\\ \mathrm{rad}\cdot\mathrm{s}^{-5} e b=5\times10^{-2}\\ \mathrm{rad}\cdot\mathrm{s}^{-4}, calcular o número de revoluções e a velocidade linear em t=10\\ \mathrm{s}.
  • Dados fornecidos:
    • A aceleração angular é \alpha(t)=4a t^{3}-3b t^{2}.
    • A velocidade angular inicial é \omega_0 (no complemento numérico a roda parte do repouso, então \omega_0=0).
    • Constantes numéricas do complemento: a=10^{-2}\\ \mathrm{rad}\cdot\mathrm{s}^{-5}, b=5\times10^{-2}\\ \mathrm{rad}\cdot\mathrm{s}^{-4}.
    • Raio da roda: r=2\\ \mathrm{m}.
    • Tempo de interesse no complemento: t=10\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Entendendo as relações fundamentais entre aceleração angular, velocidade angular e ângulo (aula rápida e prática).
  • Definição de aceleração angular: \alpha(t) é a taxa de variação da velocidade angular com o tempo. Em fórmulas,
\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt}.
Aqui \omega(t) é a velocidade angular em rad/s e \alpha(t) tem unidade rad/s ^2.
  • Para obter a velocidade angular a partir da aceleração angular devemos integrar no tempo. Se tomarmos a condição inicial \omega(0)=\omega_0, a expressão geral é
\omega(t)=\omega_0+\int_{0}^{t}\alpha(t')\,dt'.
Explico: a integral acumula a variação da velocidade desde 0 até t; o t' é só uma variável de integração.

Passo 3

Integração da aceleração dada para obter \omega(t).
  • Substituindo \alpha(t)=4a t^{3}-3b t^{2} na integral:
\omega(t)=\omega_0+\int_{0}^{t}\big(4a t'^{3}-3b t'^{2}\big)\,dt'.
  • Integramos termo a termo. Lembre que \int t'^{n}dt'=\dfrac{t'^{n+1}}{n+1}.
    • \int_{0}^{t}4a t'^{3}dt' = 4a\cdot \dfrac{t^{4}}{4}=a t^{4}.
    • \int_{0}^{t}-3b t'^{2}dt' = -3b\cdot \dfrac{t^{3}}{3}=-b t^{3}.
  • Assim, a velocidade angular como função do tempo é
\omega(t)=\omega_0 + a t^{4} - b t^{3}.
Expliquei cada termo: a t^{4} vem da integração de 4a t^{3} e -b t^{3} vem da integração de -3b t^{2}. O \omega_0 é a constante de integração fixada pela condição inicial.

Passo 4

Relação entre velocidade angular e ângulo; integração para obter \theta(t).
  • Definição: a velocidade angular é a derivada do ângulo em relação ao tempo,
\omega(t)=\frac{d\theta}{dt},
onde \theta(t) é a posição angular em radianos. Para obter \theta(t) integramos \omega(t).
  • Com condição inicial \theta(0)=\theta_0 (se nada for dito podemos tomar \theta_0=0), temos
\theta(t)=\theta_0 + \int_{0}^{t}\omega(t')\,dt'.
  • Substituindo \omega(t')=\omega_0 + a t'^{4} - b t'^{3} e integrando termo a termo:
    • \int_{0}^{t}\omega_0\,dt' = \omega_0 t.
    • \int_{0}^{t} a t'^{4}dt' = a\cdot \dfrac{t^{5}}{5} = \dfrac{a}{5} t^{5}.
    • \int_{0}^{t} -b t'^{3}dt' = -b\cdot \dfrac{t^{4}}{4} = -\dfrac{b}{4} t^{4}.
  • Portanto, a posição angular é
\theta(t)=\theta_0 + \omega_0 t + \frac{a}{5} t^{5} - \frac{b}{4} t^{4}.
Dica prática para a prova: escreva sempre cada termo separado e integre com a regra \int t^{n}dt = t^{n+1}/(n+1); coloque a condição inicial para achar a constante de integração.

Passo 5

Aplicando os valores numéricos do complemento: \omega_0=0, a=10^{-2}, b=5\times10^{-2}, t=10\\ \mathrm{s}, r=2\\ \mathrm{m}.
  • Primeiro calcule \theta(10) usando a fórmula com \theta_0=0 e \omega_0=0:
\theta(10)=\frac{a}{5}\,10^{5}-\frac{b}{4}\,10^{4}.
Substituindo a=10^{-2}=0{,}01 e b=5\times10^{-2}=0{,}05:
\theta(10)=\frac{0{,}01}{5}\cdot 100000 - \frac{0{,}05}{4}\cdot 10000.
Calcule passo a passo:
  • \dfrac{0{,}01}{5}\cdot 100000 = 0{,}002\cdot 100000 = 200 rad.
  • \dfrac{0{,}05}{4}\cdot 10000 = 0{,}0125\cdot 10000 = 125 rad.
    Logo
\theta(10)=200-125=75\\ \text{rad}.
  • Número de revoluções em 10\\ \mathrm{s}: como uma volta tem 2\pi rad, o número de voltas é \dfrac{\theta(10)}{2\pi}:
\text{revoluções}=\frac{75}{2\pi}\approx 11{,}94\\ \text{voltas}.çõ
(Usei \pi\approx 3{,}14159265.)

Passo 6

Calcule a velocidade angular em t=10\\ \mathrm{s} e então a velocidade linear.
  • Usando \omega(t)=\omega_0 + a t^{4} - b t^{3} com \omega_0=0:
\omega(10)=a\cdot 10^{4} - b\cdot 10^{3}.
Substituindo a=0{,}01 e b=0{,}05:
\omega(10)=0{,}01\cdot 10000 - 0{,}05\cdot 1000 = 100 - 50 = 50\\ \mathrm{rad/s}.
  • A velocidade linear na borda da roda é dada por v=r\omega. Com r=2\\ \mathrm{m}:
v(10)=2\cdot 50 = 100\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação física rápida: em 10\\ \mathrm{s} a roda gira cerca de 12 voltas e sua borda está se deslocando a 100\\ \mathrm{m/s} (valor alto porque as constantes foram escolhidas numericamente).

Resposta

(a) \displaystyle \omega(t)=\omega_0 + a t^{4} - b t^{3}\n
(b) \displaystyle \theta(t)=\theta_0 + \omega_0 t + \frac{a}{5} t^{5} - \frac{b}{4} t^{4}\n
Número de revoluções em t=10\\ \mathrm{s}: \displaystyle \frac{75}{2\pi}\approx 11{,}94 voltas\n
Velocidade linear em t=10\\ \mathrm{s}: \displaystyle v(10)=100\\ \mathrm{m/s}

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