Em uma estação de tratamento de água, um contaminante orgânico A pode ser removido por dois processos distintos, dependendo das condições do meio:
  • Em meio diluído, sua degradação segue uma cinética de primeira ordem.
  • Em concentrações mais elevadas, a degradação passa a seguir uma cinética de segunda ordem, em virtude da interação entre moléculas do próprio contaminante.
    Após iniciar o processo em um mecanismo, ele não é mais modificado, independentemente da concentração.
    Um técnico realiza dois experimentos:
    Experimento 1 (meio diluído):
    A concentração inicial de A é 0,10 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}. Após 30 minutos, a concentração cai para 0,01 .
    Experimento 2 (alta concentração):
    A concentração inicial de A é 0,20 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}. Após 30 minutos, a concentração diminui para 0,01 .
    Determine a constante de velocidade \mathrm{k}_{2}, utilizando a equação integrada correspondente.

Passo 1

O enunciado dá duas experiências e pede para determinar a constante de velocidade \,k_{2}\, associada à cinética de segunda ordem. Informações relevantes fornecidas:
  • Experimento 1 (meio diluído): [A]_0 = 0,10\\ \mathrm{mol/L}. Após t = 30\\ \mathrm{min}, [A] = 0,01\\ \mathrm{mol/L}.
  • Experimento 2 (alta concentração): [A]_0 = 0,20\\ \mathrm{mol/L}. Após t = 30\\ \mathrm{min}, [A] = 0,01\\ \mathrm{mol/L}.
  • O enunciado afirma que, em altas concentrações, a degradação segue cinética de segunda ordem e que, uma vez iniciado o mecanismo, ele não muda. Portanto, para obter \,k_{2}\, devemos usar os dados do Experimento 2 (o que é segundo ordem).
    O que é pedido: calcular \,k_{2}\, usando a equação integrada da cinética de segunda ordem.

Passo 2

Escrevendo a lei de velocidade diferencial para reação de segunda ordem do tipo A + A \to \text{produtos}:
\frac{d[A]}{dt} = -k_{2}\,[A]^{2}.
Explicação dos símbolos:
  • [A] é a concentração do reagente A (unidade: \mathrm{mol/L}).
  • t é o tempo (unidade: minutos, aqui).
  • k_{2} é a constante de velocidade de segunda ordem (unidade a determinar).
  • O sinal negativo indica que [A] diminui com o tempo.
    A estratégia é separar variáveis e integrar para obter a forma integrada que relaciona [A], [A]_0 e t.

Passo 3

Separamos variáveis e integramos desde t=0 com [A]=[A]_0 até tempo t com [A]=[A]:
\int_{[A]_0}^{[A]} \frac{d[A]}{[A]^{2}} = -k_{2}\int_{0}^{t} dt.
Calculando as integrais:
\int \frac{d[A]}{[A]^{2}} = -\frac{1}{[A]} + C.
Aplicando os limites,
\left(-\frac{1}{[A]}\right)-\left(-\frac{1}{[A]_0}\right) = -k_{2}t.
Simplificando os sinais obtemos a forma usual da equação integrada de segunda ordem:
\frac{1}{[A]} - \frac{1}{[A]_0} = k_{2}\,t.
Essa fórmula relaciona as concentrações inicial e em t com k_{2}.

Passo 4

Isolando k_{2} na equação integrada:
k_{2} = \frac{\dfrac{1}{[A]} - \dfrac{1}{[A]_0}}{t}.
Observação de unidades: \dfrac{1}{[A]} tem unidades \mathrm{L/mol}; dividindo por t (minutos) resulta em unidades \mathrm{L\\ mol^{-1}\\ min^{-1}} para k_{2}.

Passo 5

Agora aplicamos os dados do Experimento 2 (alta concentração, segunda ordem), onde [A]_0 = 0,20\\ \mathrm{mol/L}, [A] = 0,01\\ \mathrm{mol/L} e t = 30\\ \mathrm{min}. Calculamos os recíprocos:
\frac{1}{[A]} = \frac{1}{0,01} = 100\\ \mathrm{L/mol}, \qquad \frac{1}{[A]_0} = \frac{1}{0,20} = 5\\ \mathrm{L/mol}.
Diferença:
\frac{1}{[A]} - \frac{1}{[A]_0} = 100 - 5 = 95\\ \mathrm{L/mol}.
Portanto
k_{2} = \frac{95\\ \mathrm{L/mol}}{30\\ \mathrm{min}} = 3,166\ldots\\ \mathrm{L\\ mol^{-1}\\ min^{-1}}.
Arredondando de forma adequada (dados com duas casas decimais nas concentrações), podemos escrever k_{2} = 3,17\\ \mathrm{L\\ mol^{-1}\\ min^{-1}}.

Resposta

k_{2} = 3,17\\ \mathrm{L\\ mol^{-1}\\ min^{-1}}

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