Em uma estação de tratamento de água, um contaminante orgânico A pode ser removido por dois processos distintos, dependendo das condições do meio:
  • Em meio diluído, sua degradação segue uma cinética de primeira ordem.
  • Em concentrações mais elevadas, a degradação passa a seguir uma cinética de segunda ordem, em virtude da interação entre moléculas do próprio contaminante.
    Após iniciar o processo em um mecanismo, ele não é mais modificado, independentemente da concentração.
    Um técnico realiza dois experimentos:
    Experimento 1 (meio diluído):
    A concentração inicial de A é 0,10 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}. Após 30 minutos, a concentração cai para 0,01 .
    Experimento 2 (alta concentração):
    A concentração inicial de A é 0,20 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}. Após 30 minutos, a concentração diminui para 0,01 .
    Determine os tempos de meia-vida nos dois casos apresentados.

Passo 1

O enunciado fornece dois experimentos independentes e pede os tempos de meia-vida em cada caso. Dados relevantes:
  • Experimento 1 (meio diluído, cinética de primeira ordem):
    • Concentração inicial [A]_0 = 0,10\\ \mathrm{mol\!/\!L}.
    • Concentração após t=30\\ \mathrm{min}: [A]_t = 0,01\\ \mathrm{mol\!/\!L}.
    • Pergunta: determinar o tempo de meia-vida t_{1/2} para essa cinética.
  • Experimento 2 (alta concentração, cinética de segunda ordem):
    • Concentração inicial [A]_0 = 0,20\\ \mathrm{mol\!/\!L}.
    • Concentração após t=30\\ \mathrm{min}: [A]_t = 0,01\\ \mathrm{mol\!/\!L}.
    • Pergunta: determinar o tempo de meia-vida t_{1/2} para essa cinética.

Passo 2

Entender o que é meia-vida e a lei integrada para cinética de primeira ordem (aula curta).
  • Definição: meia-vida t_{1/2} é o tempo em que a concentração cai para metade do valor inicial.
  • Para uma reação de primeira ordem a velocidade é proporcional à concentração:
\frac{d[A]}{dt} = -k[A],
onde [A] é a concentração de A em mol/L e k é a constante de velocidade com unidade \mathrm{min^{-1}} (aqui usamos minutos).
  • Integrando essa equação obtém-se a forma integrada:
\ln\!\left(\frac{[A]_t}{[A]_0}\right) = -k t.
  • A meia-vida para primeira ordem é obtida impondo [A]_{t_{1/2}} = \dfrac{[A]_0}{2}, resultando em
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}.
Observação didática: para primeira ordem t_{1/2} é constante e NÃO depende de [A]_0.

Passo 3

Calcular a constante de velocidade k do Experimento 1 usando os dados ( [A]_0 = 0,10, [A]_{30}=0,01, t=30\\ \mathrm{min}).
  • Usando a lei integrada:
k = -\frac{1}{t}\ln\!\left(\frac{[A]_t}{[A]_0}\right) = -\frac{1}{30}\ln\!\left(\frac{0,01}{0,10}\right).
  • Calcular o logaritmo: \ln(0,01/0,10)=\ln(0,1)=-2{,}302585\ldots
  • Portanto
k = -\frac{1}{30}\cdot(-2{,}302585\ldots)=0{,}0767528\\ \mathrm{min^{-1}}.

Passo 4

Calcular a meia-vida do Experimento 1 com k encontrado.
  • Usando t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{k}:
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{0{,}0767528} = \frac{0{,}693147}{0{,}0767528}=9{,}03\\ \mathrm{min}\\ (\text{aprox.}).
Breve comentário: esse valor faz sentido — em primeira ordem a meia-vida é fixa e, dado que a concentração caiu de 0{,}10 para 0{,}01 em 30 min (isto é, decaiu para 0{,}1 do inicial), dá para ver que em cerca de 9 min ocorre uma redução à metade repetida algumas vezes até atingir 0{,}01.

Passo 5

Agora a cinética de segunda ordem (aula curta + lei integrada).
  • Para segunda ordem em que a taxa é proporcional a [A]^2:
\frac{d[A]}{dt} = -k[A]^2,
onde k tem unidade \mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot min^{-1}}.
  • Integrando essa equação obtém-se:
\frac{1}{[A]_t} - \frac{1}{[A]_0} = k t.
  • A meia-vida para segunda ordem, impondo [A]_{t_{1/2}} = \dfrac{[A]_0}{2}, leva a:
\frac{1}{[A]_0/2} - \frac{1}{[A]_0} = k t_{1/2} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{[A]_0} = k t_{1/2},
ou seja
t_{1/2} = \frac{1}{k [A]_0}.
Observação didática: para segunda ordem t_{1/2} depende de [A]_0 — quanto maior [A]_0, menor t_{1/2}.

Passo 6

Determinar k do Experimento 2 usando [A]_0=0,20, [A]_{30}=0,01, t=30\\ \mathrm{min}.
  • Usando a forma integrada:
k = \frac{\dfrac{1}{[A]_t} - \dfrac{1}{[A]_0}}{t} = \frac{\dfrac{1}{0,01} - \dfrac{1}{0,20}}{30}.
  • Calcular os inversos: \dfrac{1}{0,01}=100, \dfrac{1}{0,20}=5. Assim
k = \frac{100 - 5}{30} = \frac{95}{30} = 3{,}1666667\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot min^{-1}}.

Passo 7

Calcular a meia-vida do Experimento 2 com k encontrado e [A]_0=0,20.
  • Usando t_{1/2} = \dfrac{1}{k [A]_0}:
t_{1/2} = \frac{1}{3{,}1666667 \times 0{,}20} = \frac{1}{0{,}63333334} = 1{,}5789474\\ \mathrm{min}.
Arredondando razoavelmente, t_{1/2}\approx 1{,}579\\ \mathrm{min}.

Passo 8

Resumo interpretativo rápido (estímulo): a meia-vida na primeira ordem é muito maior (aprox. 9{,}03 min) do que na segunda ordem para a alta concentração inicial dada (aprox. 1{,}579 min). Isso mostra como a dependência com [A]_0 em segunda ordem pode acelerar muito a perda quando a concentração inicial é grande. Você está indo bem — esses passos são exatamente o que precisará reproduzir na prova: derive a lei integrada, calcule k a partir dos dados e depois calcule t_{1/2}.

Resposta

Tempo de meia-vida (cinética de primeira ordem): t_{1/2}=9{,}03\\ \mathrm{min}
Tempo de meia-vida (cinética de segunda ordem): t_{1/2}=1{,}579\\ \mathrm{min}

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