Em uma estação de tratamento de água, um contaminante orgânico A pode ser removido por dois processos distintos, dependendo das condições do meio:
- Em meio diluído, sua degradação segue uma cinética de primeira ordem.
- Em concentrações mais elevadas, a degradação passa a seguir uma cinética de segunda ordem, em virtude da interação entre moléculas do próprio contaminante.
Após iniciar o processo em um mecanismo, ele não é mais modificado, independentemente da concentração.
Um técnico realiza dois experimentos:
Experimento 1 (meio diluído):
A concentração inicial de A é
. Após 30 minutos, a concentração cai para 0,01 .
Experimento 2 (alta concentração):
A concentração inicial de A é
. Após 30 minutos, a concentração diminui para 0,01 .
Determine os tempos de meia-vida nos dois casos apresentados.
Após iniciar o processo em um mecanismo, ele não é mais modificado, independentemente da concentração.
Um técnico realiza dois experimentos:
Experimento 1 (meio diluído):
A concentração inicial de A é
Experimento 2 (alta concentração):
A concentração inicial de A é
Determine os tempos de meia-vida nos dois casos apresentados.
Passo 1
O enunciado fornece dois experimentos independentes e pede os tempos de meia-vida em cada caso. Dados relevantes:
- Experimento 1 (meio diluído, cinética de primeira ordem):
- Concentração inicial
. - Concentração após
: . - Pergunta: determinar o tempo de meia-vida
para essa cinética.
- Concentração inicial
- Experimento 2 (alta concentração, cinética de segunda ordem):
- Concentração inicial
. - Concentração após
: . - Pergunta: determinar o tempo de meia-vida
para essa cinética.
- Concentração inicial
Passo 2
Entender o que é meia-vida e a lei integrada para cinética de primeira ordem (aula curta).
- Definição: meia-vida
é o tempo em que a concentração cai para metade do valor inicial. - Para uma reação de primeira ordem a velocidade é proporcional à concentração:
onde
é a concentração de
em mol/L e
é a constante de velocidade com unidade
(aqui usamos minutos).
- Integrando essa equação obtém-se a forma integrada:
- A meia-vida para primeira ordem é obtida impondo
, resultando em
Observação didática: para primeira ordem
é constante e NÃO depende de
.
Passo 3
Calcular a constante de velocidade
do Experimento 1 usando os dados (
,
,
).
- Usando a lei integrada:
- Calcular o logaritmo:
- Portanto
Passo 4
Calcular a meia-vida do Experimento 1 com
encontrado.
- Usando
:
Breve comentário: esse valor faz sentido — em primeira ordem a meia-vida é fixa e, dado que a concentração caiu de
para
em
min (isto é, decaiu para
do inicial), dá para ver que em cerca de
min ocorre uma redução à metade repetida algumas vezes até atingir
.
Passo 5
Agora a cinética de segunda ordem (aula curta + lei integrada).
- Para segunda ordem em que a taxa é proporcional a
:
onde
tem unidade
.
- Integrando essa equação obtém-se:
- A meia-vida para segunda ordem, impondo
, leva a:
ou seja
Observação didática: para segunda ordem
depende de
— quanto maior
, menor
.
Passo 6
Determinar
do Experimento 2 usando
,
,
.
- Usando a forma integrada:
- Calcular os inversos:
, . Assim
Passo 7
Calcular a meia-vida do Experimento 2 com
encontrado e
.
- Usando
:
Arredondando razoavelmente,
.
Passo 8
Resumo interpretativo rápido (estímulo): a meia-vida na primeira ordem é muito maior (aprox.
min) do que na segunda ordem para a alta concentração inicial dada (aprox.
min). Isso mostra como a dependência com
em segunda ordem pode acelerar muito a perda quando a concentração inicial é grande. Você está indo bem — esses passos são exatamente o que precisará reproduzir na prova: derive a lei integrada, calcule
a partir dos dados e depois calcule
.
Resposta
Tempo de meia-vida (cinética de primeira ordem):
Tempo de meia-vida (cinética de segunda ordem):
Tempo de meia-vida (cinética de segunda ordem):