Uma estação de tratamento de água (ETA) localiza-se a 600 m de uma estrada reta. Uma estação de rádio localiza-se nessa mesma estrada, a 1000 m da ETA. Pretende-se construir um restaurante, na estrada, que fique à mesma distância das duas estações. A distância do restaurante a cada uma das estações deverá ser de:
A) 575 m
B) 600 m
C) 625 m
D) 700 m
E) 750 m

Passo 1

Resumindo o problema: a estação de tratamento (ETA) está a 600 m de uma estrada reta e a estação de rádio fica sobre essa estrada a 1000 m da ETA. Precisamos encontrar um ponto na estrada que fique à mesma distância das duas estações, usando geometria analítica e a fórmula da distância euclidiana.

Passo 2

Posicionamos um sistema de eixos em que a estrada é o eixo x e a perpendicular à estrada é o eixo y. Assim, a ETA fica em (0, 600). A estação de rádio fica em (x_r, 0) sobre a estrada e satisfaz
raiz(xr-0)^2+(0-600)^2=1000
Elevando ao quadrado:
xr^2+600^2=1000^2
Logo
xr^2=1000000-360000=640000
e portanto
xr=pm800
Por simetria escolhemos x_r=800.

Passo 3

Chamamos o restaurante de R=(x, 0). A condição de equidistância exige
raiz(x-0)^2+(0-600)^2=raiz(x-800)^2+0^2
Elevando ao quadrado e simplificando:
x^2+600^2=(x-800)^2
x^2+360000=x^2-1600x+640000
1600x=280000
x=175

Passo 4

Calculamos a distância comum substituindo x=175 em raizx^2+600^2:
raiz175^2+600^2=raiz30625+360000=raiz390625=625
Portanto o restaurante deve ficar a 625 m de cada estação.

Resposta

625 m (opção C)

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