Uma estação de tratamento de água (ETA) localiza-se a 600 m de uma estrada reta. Uma estação de rádio localiza-se nessa mesma estrada, a 1000 m da ETA. Pretende-se construir um restaurante, na estrada, que fique à mesma distância das duas estações. A distância do restaurante a cada uma das estações deverá ser de:
A) 575 m
B) 600 m
C) 625 m
D) 700 m
E) 750 m
A) 575 m
B) 600 m
C) 625 m
D) 700 m
E) 750 m
Passo 1
Resumindo o problema: a estação de tratamento (ETA) está a 600 m de uma estrada reta e a estação de rádio fica sobre essa estrada a 1000 m da ETA. Precisamos encontrar um ponto na estrada que fique à mesma distância das duas estações, usando geometria analítica e a fórmula da distância euclidiana.
Passo 2
Posicionamos um sistema de eixos em que a estrada é o eixo x e a perpendicular à estrada é o eixo y. Assim, a ETA fica em (0, 600). A estação de rádio fica em (x_r, 0) sobre a estrada e satisfaz
Elevando ao quadrado:
Logo
e portanto
Por simetria escolhemos x_r=800.
Passo 3
Chamamos o restaurante de R=(x, 0). A condição de equidistância exige
Elevando ao quadrado e simplificando:
Passo 4
Calculamos a distância comum substituindo x=175 em
:
Portanto o restaurante deve ficar a 625 m de cada estação.
Resposta
625 m (opção C)